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1. 유클리드의 생애와 수학 혁명
1.1. 그리스 기하학의 발전
그리스 기하학의 발전은 고대 이집트와 바빌로니아의 응용 기하학에서 시작되었다. 이집트인들은 세금과 부동산 경계 측정을 위해 기하학을 활용했으며, 바빌로니아인들도 기하학을 금융 및 공학 분야에 응용했다. 그러나 이들은 기하학의 원리나 체계를 발견하지 못했고, 오직 실용적인 목적으로만 기하학을 사용했다.
그런데 고대 그리스인들은 자연을 수학적으로 이해하려는 시도를 통해 기하학의 발전을 이루었다. 그들은 단순한 실용적 응용을 넘어 기하학 자체에 대한 탐구를 시작했다. 그리스 철학자 탈레스는 기하학의 체계화를 위한 첫걸음을 내디뎠다. 그는 피라미드의 높이를 측정하거나 바다에 있는 선박의 거리를 계산하는 등 기하학을 실제 문제 해결에 활용했다. 또한 그는 닮은 삼각형의 성질을 이용하는 등 기하학적 정리를 증명하고자 했다. 이를 통해 그는 기하학의 체계적인 발전을 위한 토대를 마련했다."
이어 피타고라스와 그의 추종자들은 기하학과 수에 대한 심도 있는 연구를 진행했다. 그들은 기하학적 도형과 정수의 관계를 발견하고, 직각삼각형의 정리(피타고라스 정리)를 증명했다. 하지만 그들은 정사각형의 대각선 길이가 무리수라는 사실을 발견하면서 정신적 충격을 받았다. 이는 그들의 신앙과 양립하기 어려운 발견이었기 때문이다.
그 후 유클리드는 그리스 기하학 발전의 정점을 이루었다. 그는 기존의 기하학 지식을 체계화하여 「기하학 원본」을 저술했다. 이 책은 정의, 공리, 정리 등으로 구성된 논리적이고 완결성 있는 기하학 체계를 제시했다. 유클리드는 용어의 정의, 공리의 설정, 연역적 추론을 통한 증명 등의 방법을 통해 기하학을 엄밀한 학문으로 발전시켰다. 이로써 그리스 기하학은 실용적 필요에 따른 응용 수준을 넘어서 추상적이고 이상적인 수준으로 발전할 수 있었다.
1.2. 이집트와 바빌로니아의 응용 기하학
이집트와 바빌로니아의 응용 기하학이다.
고대 이집트인들과 바빌로니아인들은 실용적인 수학 개념을 발전시켰다. 이집트인들은 나일 강 범람 후 토지를 측량하고 세금을 부과하기 위해 기하학을 사용했다. 그들은 정사각형, 직사각형, 사다리꼴 등의 면적을 계산하는 방법을 개발했다. 원의 면적을 계산할 때는 지름의 8/9를 한 변으로 하는 정사각형의 면적을 구했는데, 실제 값보다 0.6% 크게 나왔다. 이집트인들은 건축물 건설을 위해 측량을 했는데, 밧줄에 매듭으로 일정한 간격을 만들어 삼각형의 길이를 측정했다. 이는 현대 미분기하학과 유사한 방법이었다.
바빌로니아인들도 실용적인 수학을 발전시켰다. 그들은 운하 굴착 시 사다리꼴 단면의 흙 부피를 계산하고, 복리 계산도 했다. 하지만 바빌로니아인들은 수학을 의미 있는 개념이나 법칙으로 발전시키지 못했다. 단지 다양한 계산 기술을 가졌을 뿐이었다. 피타고라스 정리도 알고 있었지만, 왜 그 관계가 성립하는지에 대해 생각하지 않았다.
이처럼 이집트와 바빌로니아의 수학은 실용적이고 응용적이었다. 하지만 그들은 수학의 근본적인 원리나 법칙을 발견하지 못했다. 이것은 그리스인들이 이루어낸 성과라고 할 수 있다.
1.3. 피타고라스와 수의 신비주의
피타고라스와 수의 신비주의는 그리스 기하학의 발전에 있어 매우 중요한 역할을 했다.
피타고라스는 고대 그리스의 수학자이자 철학자로, 그의 추종자들인 피타고라스주의자들은 수와 수의 성질에 대한 신비주의적 믿음을 가지고 있었다. 그들은 수를 숭배하였고, 모든 것이 수로 설명될 수 있다고 믿었다.
피타고라스는 수에 대한 다양한 발견을 하였는데, 그 대표적인 것이 '피타고라스 정리'이다. 피타고라스 정리는 "직각삼각형에서 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다"는 내용이다. 이는 기하학과 수학의 결합을 보여주는 중요한 업적이었다.
피타고라스주의자들은 수와 기하학적 모양 간의 관계를 연구하였다. 그들은 정수를 점으로 나타내어 이를 통해 수의 성질을 연구하였다. 예를 들어 '제곱수'와 '삼각수' 등의 개념을 발견하였다. 이는 현대 수학의 기초가 되었다.
그러나 피타고라스주의자들은 수에 대한 신비주의적 믿음 때문에 때때로 수학적 논리를 거부하기도 하였다. 대표적인 것이 '무리수'의 문제이다. 정사각형의 대각선의 길이가 무리수라는 사실을 발견했을 때, 피타고라스주의자들은 이를 받아들이지 않으려 했다. 왜냐하면 모든 것이 수로 설명되어야 한다는 그들의 신념에 어긋났기 때문이다.
이처럼 피타고라스와 그의 추종자들은 수에 대한 신비주의적 태도를 가지고 있었지만, 동시에 수학과 ...
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