본문내용
1. 1자유도계의 자유진동실험
1.1. 1자유도 진동시스템
1자유도 진동시스템은 질량-스프링-감쇠기로 구성된 가장 기본적인 진동계이다. 이 시스템은 회전축 A에 대하여 미소 회전운동을 하는 보에 스프링(k), 질량(m), 감쇠기(c)가 부착되어 있다. 보를 굽힘 강성이 충분히 큰 강체로 보면 이 진동계는 회전각 θ로 모든 운동 상태를 표현할 수 있는 1자유도 진동계이다.
이 진동계의 운동방정식은 고정 회전축 A에 대한 회전각 θ로 다음과 같이 표시된다.
J ̈θ + cLc2θ̇ + kLk2θ = 0
여기서 θ는 각변위(rad), J는 회전축 A에 대한 진동계의 질량 관성모멘트(kgm2)로서 보와 중추 질량 m의 영향을 모두 포함한다. 스프링 상수 k와 감쇠계수 c의 단위는 각각 (N/m), (N·s/m)이다.
운동방정식을 고유진동수(ωn)와 감쇠비(ζ)를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
ÿ + 2ζωn ̇y + ω2
ny = 0
여기서 ωn과 ζ는 다음과 같이 정의된다.
ωn = √(kLk2/J) = Lk√(k/J)
ζ = (cLc2) / (2√(JkLk2)) = (cLc2) / (2Lk)√(1/kJ)
감쇠비 ζ가 1보다 작은 부족감쇠(under damped)일 경우 운동방정식의 해는 다음과 같다.
θ = Ae-ζωnt sin(ωdt + Φ)
여기서 진폭 A와 위상각 Φ는 초기위치 및 초기속도로부터 결정되는 상수이며, 감쇠진동수(ωd)는 다음과 같이 계산된다.
ωd = √(1-ζ2)ωn
감쇠진동수 ωd의 단위는 (rad/s)이며, 주기 τd와는 다음과 같은 관계가 있다.
τd = 2π/ωd
이러한 1자유도 진동계의 자유진동 특성을 실험적으로 관찰하고 이해하는 것이 본 실험의 목적이다. 실험을 통해 진동주기, 고유진동수, 감쇠계수, 감쇠비 등의 상관관계를 측정하고 1자유도 진동계의 진동 원리를 학습할 수 있다.
1.2. 1자유도계의 자유진동 실험 목적
1자유도 진동계는 가장 기본적인 진동계이다. 본 실험의 목적은 질량-스프링-감쇠기로 이루어지는 1자유도 진동계를 자유진동 시킬 때 발생하는 진동 신호를 측정하여 진동주기, 고유진동수, 감쇠계수, 감쇠비 등의 상관관계를 관찰하고 1자유도 진동계의 진동 원리를 이해하는 것이다."
1.3. 1자유도계의 자유진동 실험 이론
1자유도 진동계는 가장 기본적인 진동계이다. 이는 질량-스프링-감쇠기로 이루어져 있으며, 회전축 A에 대하여 미소 회전운동을 하고 있다. 보를 굽힘 강성이 충분히 큰 강체로 가정할 경우, 이 진동계는 회전각 θ로 모든 운동 상태를 표현할 수 있는 1자유도 진동계이다.
이 진동계의 운동방정식은 고정 회전축 A에 대한 회전각 θ로 다음과 같이 표시된다.
J θ̈ + cLc^2 θ̇ + kLk^2 θ = 0
여기서 θ는 각 변위(rad)이고, J는 회전축 A에 대한 진동계의 질량 관성모멘트(kgㆍm^2)로 보와 중추 질량 m의 영향을 모두 포함한다. 스프링 상수 k와 감쇠계수 c의 단위는 각각 (N/m), (Nㆍs/m)이다.
운동방정식을 고유진동수(ωn)와 감쇠비(ζ)를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
θ̈ + 2ζωn θ̇ + ωn^2 θ = 0
여기서 ωn과 ζ는 다음과 같이 정의된다.
ωn = √(kLk^2/J) = Lk √(k/J)
ζ = (cLc^2)/(2√(JkLk^2)) = (cLc^2)/(2Lk)√(1/kJ)
감쇠비 ζ가 1보다 작은 부족감쇠(under damped)일 경우 운동방정식의 해는 다음과 같다.
θ = Ae^(-ζωnt) sin(ωdt + Φ)
여기서 진폭 A와 위상각 Φ는 초기위치 및 초기속도로부터 결정되는 상수이며, 감쇠진동수(ωd)는 다음과 같이 계산된다.
ωd = √(1-ζ^2)ωn
ωd의 단위는 (rad/s)이며, 주기 τd와는 다음과 같은 관계가 있다.
τd = 2π/ωd
[그림 3.2]는 초기 위치가 θ0, 초기속도가 0인 경우의 자유진동응답을 나타낸 것이다. 그림에서 i번째와 i+1번째 진폭의 비는 다음과 같이 얻어진다.
θi/θi+1 = e^(2πζ/√(1-ζ^2))
이때 대수감소율 δ는 다음과 같이 계산된다.
δ = ln(θi/θi+1) = 2πζ/√(1-ζ^2)
이처럼 1자유도 진동계의 자유진동 실험을 통해 진동주기, 고유진동수, 감쇠계수, 감쇠비 등의 상관관계를 관찰하고 진동 원리를 이해할 수 있다.
1.4. 1자유도계의 자유진동 실험 결과
1자유도계의 자유진동 실험 결과는 다음과 같다. 질량-스프링-감쇠기로 이루어진 1자유도 진동계를 자유진동 실험을 통해 진동 신호를 측정하였다. 실험 결과로부터 진동주기, 고유진동수, 감쇠계수, 감쇠비 등의 상관관계를 관찰할 수 있었으며, 1자유도 진동계의 진동 원리를 이해할 수 있었다.
부족감쇠 상태의 1자유도 진동계에서 감쇠비 ζ가 1보다 작은 경우, 운동방정식의 해는 θ=Ae^(-ζωnt)sin(ωdt+φ)와 같이 표현된다. 여기서 ωd는 감쇠진동수로 ωd=ωn√(1-ζ2)의 관계를 가진다. 또한 인접한 진폭의 비는 θi/θi+1=e^(2πζ/√(1-ζ2))로 나타나며, 이를 통해 대수감소율 δ=ln(θi/θi+1)=(2πζ)/√(1-ζ2)를 계산할 수 있다.
이러한 이론적 배경을 바탕으로 실험을 진행한 결과, 감쇠비가 증가할수록 진동 신호의 감쇠가 빨라지고 감쇠진동수 ωd가 감소하는 것을 확인하였다. 또한 진동주기와 고유진동수의 관계, 그리고 대수감소율과 감쇠비의 관계 등이 이론과 일치하는 결과를 보였다.
이를 통해 1자유도 진동계의 진동 특성을 실험적으로 검증하고, 이론과 실험 결과의 상관관계를 분석할 수 있었다. 이러한 실험 결과는 추후 다자유도 진동계 및 복잡한 기계시스템의 진동 현상을 이해하는 데 기초가 될 것이다.
1.5. 1자유도계의 자유진동 실험 토의
실험결과를 분석해보면, 1자유도 진동계의 자유진동 특성을 잘 파악할 수 있었다. 비감쇠 상태와 감쇠 상태에서의 진동 응답을 관찰하여 진동주기, 고유진동수, 감쇠계수, 감쇠비 등의 관계를 이해할 수 있었다.
우선 비감쇠 강제진동에서의 진폭 특성을 보면, 고유진동수에 가까워질수록 진폭이 크게 증가하는 공진현상이 나타났다. 이는 외부 가진력의 진동수가 시스템의 고유진동수와 일치할 때 과도한 변형이 발생하는 것을 잘 보여준다. 반면 감쇠 강제진동에서는 고유진동수에서의 진폭 증가가 상대적으로 작게 나타났는데, 이는 감쇠에 의해 공진 시의 진폭이 제한되는 것을 의미한다.
다음으로 자유진동과 강제진동으로 구한 고유진동수를 비교해보면, 중추질량이 0.2kg일 때 4.05%, 1.6kg일 때 6.43%, 3.2kg일 때 2.83%의 오차가 발생했다. 이런 오차가 나타난 이유는 실험 시 rpm을 25rpm 단위로 변화시켜 측정했기 때문이다. 즉, rpm 간격을 좀 더 좁혀서 실험을 진행한다면 오차를 줄일 수 있을 것이다.
또한 미정계수법을 활용하여 강제진동 응답 식인 X= {F_0} over {sqrt {(w_n^2 - w_0^2)^2 + (2zeta w_n w_0)^2}}을 유도할 수 있었다. 이 식은 가진력, 고유진동수, 감쇠비의 관계를 잘 보여준다.
마지막으로 모터의 불평형 질량에 따른 가진력을 분석해보면, 편심질량의 합이 m이고 회전각속도가 w일 때 가진력의 수직성분은 F(t)=mew^2 sinwt로 표현된다. 이를 통해 모터의 불평형이 시스템에 미치는 영향을 이해할 수 있다.
종합해볼 때, 이번 1자유도계의 자유진동 실험...
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