소개글
"주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째 1 또는 2가 나오는 사건을 A, 두 번째 1 또는 2가 나오는 사건을 B라고 할 때, A 와 B는 서로 독립인지 여부를 판정"에 대한 내용입니다.
목차
1. 서론
2. 확률의 기초
2.1. 확률의 공리
2.2. 확률변수와 확률분포
2.2.1. 이산확률분포
2.2.2. 연속확률분포
3. 확률의 법칙
3.1. 덧셈법칙
3.2. 곱셈법칙
3.3. 여확률 법칙
3.4. 총확률 정리
3.5. 통계적 독립성
4. 베이즈 정리
4.1. 베이즈 정리의 개념
4.2. 베이즈 정리의 활용
5. 확률의 실생활 적용
5.1. 복권 당첨 확률
5.2. 안과질환 판정 확률
6. 결론
7. 참고 문헌
본문내용
1. 서론
우리는 모두 학창시절에 확률이라는 개념을 학교에서 수학시간에 배웠다. 어떤 사람에게는 쉬운 개념이었을수도 있고 또 다른 사람에게는 머리를 쥐어뜯게 만드는 어려운 개념이었을 수도 있다. 많은 사람들이 확률을 단지 수학과목의 일종이라고 생각할지도 모르나 확률은 우리 사회 전반에 아주 많이 사용되고 있는 개념이다. 복권에 당첨될 확률부터 길을 가다 벼락에 맞을 확률, 9급 공무원 시험에 응시하는 응시자가 시험에 합격할 확률까지 확률을 적용할 수 있는 사례는 무수히 많다. 그 적용범위가 매우 광범위한 것 만큼이나 확률에는 다양한 이론이 있으며, 각각의 이론이나 식은 상황에 맞게 적용되어 사용된다. 확률이론이 무엇인지에 대해서 그 개념과 주요 이론에 대해서 살펴보고, 일상생활에서 쉽게 접할 수 있는 임의의 사건의 확률을 계산해보았다.
2. 확률의 기초
2.1. 확률의 공리
확률의 공리는 수학적으로 확률의 성질을 기술한 것이다. 확률 이론에서는 세 가지의 공리를 가정한다"
첫째, 모든 사건 E에 대하여 확률 P(E)는 0 이상의 실수값을 가진다. 즉, P(E) ≥ 0이다.
둘째, 필연적으로 일어나는 사건 Ω(표본공간)의 확률은 1이다. 즉, P(Ω) = 1이다.
셋째, 상호배반적인 사건들의 무한 수열 {En}에 대하여 다음 식이 성립한다.
P(∪∞n=1 En) = ∑∞n=1 P(En)
이러한 확률의 공리를 통해 확률 이론의 기본적인 성질들을 도출할 수 있다. 예를 들어 여사건의 확률, 상호배반사건의 확률 덧셈 등을 수학적으로 기술할 수 있게 된다."
2.2. 확률변수와 확률분포
2.2.1. 이산확률분포
이산확률분포는 확률변수가 취할 수 있는 값이 정의역에서 이산적인 값을 가지는 확률분포이다. 즉, 확률변수가 정수 값만을 가진다는 의미이다. 이산확률분포에는 이항분포, 기하분포, 포아송분포, 초기하분포, 음이항분포 등이 포함된다.
이항분포는 베르누이 실험에서 성공할 확률 p와 시행 횟수 n이 주어졌을 때, 성공 횟수 X가 갖는 확률분포이다. 베르누이 실험은 두 가지 결과만 가지며 그 결과가 서로 배반적이고 독립적인 실험이다. 이항분포의 확률질량함수는 P(X=x) = (n C x) * p^x * (1-p)^(n-x)로 표현된다.
기하분포는 독립적인 베르누이 실험을 계속 수행할 때, 최초로 성공할 때까지의 시행 횟수 X에 대한 확률분포이다. 기하분포의 확률질량함수는 P(X=x) = p * (1-p)^(x-1)로 표현된다. 성공확률이 p이고 독립적인 베르누이 실험을 계속 수행할 때, 최초로 성공할 때까지의 시행 횟수 X가 기하분포를 따른다.
포아송분포는 일정한 시간 간격 내에서 발생하는 사건의 횟수를 나타내는 확률분포이다. 평균 발생률 λ가 주어졌을 때, 시간 간격 내에서 발생하는 사건의 횟수 X에 대한 확률질량함수는 P(X=x) = e^(-λ) * λ^x / x!로 표현된다.
초기하분포는 유한모집단에서 비복원추출을 할 때 나타나는 확률분포이다. 모집단의 크기 N, 모집단 내 성공사건의 수 r, 그리고 추출 횟수 n이 주어졌을 때, 추출 과정에서 성공 횟수 X에 대한 확률질량함수는 P(X=x) = (r C x) * (N-r C n-x) / (N C n)로 표현된다.
음이항분포는 베르누이 실험에서 k번의 성공을 얻기까지의 시행 횟수 X에 대한 확률분포이다. 성공확률 p와 목표 성공 횟수 k가 주어졌을 때, 음이항분포의 확률질량함수는 P(X=x) = (x-1 C k-1) * p^k * (1-p)^(x-k)로 표현된다.
이와 같이 이산확률분포는 확률변수가 정수 값만을 가지며, 각 분포마다 고유한 특성과 확률질량함수를 가진다. 이산확률분포는 이산적인 데이터를 분석하는 데 유용하게 활용된다.
2.2.2. 연속확률분포
연속확률분포는 확률변수의 값이 연속적인 구간 내에 존재하는 경우...
참고 자료
통계적 확률분포 이론, 강석복, 경문사, 2015
확률의 입문, Sheldon Ross, 자유아카데미, 2014
UCLA Institute for Digital Research & Education
이상복, 손중권, 정성석. 2006. “수학 1 검정교과서 확률통계 영역에 대한 연구”. 응용통계연구, Vol.18 No.1.
장대흥. 2009. “기초통계학 교육 시 확률에 관한 몇 가지 유용한 사례들”. 응용통계연구, Vol.22 No.4.
와쿠이 요시유키, 수학 사전, 그린북 2017
휴먼사이언스, 불멸의 이론, 이경식, 샤론 버치 맥그레인 2013
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