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1. 제논의 역설
1.1. 제논의 역설 소개
고대 그리스의 철학자이자 수학자인 제논(Zenon ho Elea, B.C. 490~430)은 그리스 신화의 영웅 아킬레스와 거북이가 달리기를 할 때, 거북이가 조금 앞에서 출발한다면 아킬레스는 절대 거북이를 따라 잡을 수 없다고 주장했다. 예를 들어 아킬레스의 달리기 속도는 거북이보다 10배 빠르고, 거북이는 아킬레스보다 100m 앞에서 출발한다고 가정해봤을 때, 아킬레스는 거북이를 영원히 따라잡을 수 없다는 것이다.
제논의 논리에 따르면, 아킬레스가 거북이의 출발지점까지 100m를 달려가는 동안 거북이도 10m를 전진하고, 아킬레스가 그 10m를 달려가는 동안 거북이도 1m를 더 전진한다. 이와 같이 아킬레스가 계속해서 거북이를 추월하려 달려가도 거북이도 조금씩 전진하므로 둘의 간격은 점점 좁혀지지만 거북이는 항상 아킬레스보다 앞서게 된다. 이러한 역설을 "아킬레스와 거북이 역설(Achilles and the tortoise paradox)"이라고 한다.
제논은 이러한 논리적 이유로 운동이란 불가능하거나 환상일 뿐이라고 주장했다. 실제로 거북이와 사람이 달린다면 거북이가 더 앞에서 출발한다 하더라도 얼마 지나지 않아 사람이 거북이를 추월하게 된다. 하지만 당시 사람들은 제논의 주장을 논리적으로 반박할 수 없었다. 이 역설은 19세기에 와서 수학적으로 반박되었고, 약 2000년 만에 이론적으로 아킬레스가 거북이를 추월할 수 있게 되었다.
1.2. 아킬레스와 거북이 역설
고대 그리스의 철학자이자 수학자인 제논(Zenon ho Elea, B.C. 490~430)이 제기한 "아킬레스와 거북이" 역설은 다음과 같다. 제논에 따르면 그리스 신화의 영웅 아킬레스와 거북이가 달리기를 할 때, 거북이가 조금 앞에서 출발한다면 아킬레스는 절대 거북이를 따라 잡을 수 없다고 한다. 예를 들어 아킬레스의 달리기 속도는 거북이보다 10배 빠르고, 거북이는 아킬레스보다 100m앞에서 출발한다고 가정하자. 동시에 출발한 아킬레스와 거북이, 아킬레스는 거북이의 출발지점까지 100m를 빠르게 달려갈 수 있지만 그동안 거북이도 10m를 전진한다. 다시 아킬레스는 거북이를 추월하려 10m를 달려가지만 그동안 거북이도 1m를 전진한다. 또 다시 아킬레스는 거북이를 추월하려 1m를 달려가지만 그동안 거북이도 0.1m를 전진한다. 이렇게 아킬레스가 계속 달리는 동안 거북이도 조금씩 전진하므로 둘의 간격은 점점 좁아지겠지만 항상 거북이는 아킬레스보다 앞서게 된다. 즉 아킬레스는 거북이를 절대 추월할 수 없다는 것이다. 제논은 이러한 논리적인 이유로 운동이란 불가능하거나 환상일 뿐이라고 주장했다."
1.3. 아킬레스와 거북이 역설의 반박
아킬레스와 거북이 역설의 반박은 다음과 같다.
아킬레스의 속력이 거북이보다 10배 빠르다고 가정했을 때, 거북이가 100m 앞서서 출발했다 하더라도 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 있다. 처음 거북이가 있던 위치에 갈 때까지의 시간은 10초이지만, 다음에 거북이가 있던 위치에 갈 때의 시간은 1초, 그 다음에는 0.1초, 0.01초 등으로 점점 줄어든다. 이렇게 시간을 무한히 더하면 결국 아킬레스가 거북이를 추월할 수 있게 된다. 즉, 무한급수의 개념을 이해하면 제논의 역설을 반박할 수 있게 된다.
제논의 역설은 시간을 고려하지 않고 무한의 개념만을 고...
