본문내용
1. 강체의 공간운동
1.1. 실험 목적
강체의 공간운동 실험의 목적은 강체가 병진 운동과 회전 운동을 동시에 할 수 있으므로 그 운동 에너지가 병진 및 회전 운동에너지의 합이 된다는 것을 알아보는 것이다. 즉, 이 실험에서는 공간에서 병진과 회전 운동을 동시에 하는 강체의 역학적 에너지 보존 관계를 확인하고자 한다.
강체의 운동은 질량 중심의 운동만으로는 충분히 설명되지 않는다. 질량 중심의 위치가 변하지 않더라도 강체가 회전 운동을 할 수 있기 때문이다. 일반적으로 강체의 운동에너지는 병진 운동에너지와 회전 운동에너지의 합이 된다. 따라서 이 실험을 통해 강체의 역학적 에너지 보존 관계를 확인할 수 있다.
1.2. 실험 기구
강체의 공간운동 실험에 사용되는 실험 기구는 강체 공간 운동장치, 버니어 캘리퍼, 먹지, A4 용지, 줄자이다.""
강체 공간 운동장치는 강체의 병진 운동과 회전 운동을 동시에 관찰할 수 있는 장치로, 강체의 질량 중심 운동과 회전 운동을 측정할 수 있게 해준다.
버니어 캘리퍼는 강체의 크기와 길이를 정밀하게 측정하는 데 사용되며, 먹지와 A4 용지는 실험 과정 및 결과를 기록하는 데 활용된다.
줄자는 강체의 이동 거리를 측정하는 데 사용된다.""
1.3. 실험 원리 및 이론
강체의 공간운동에서 실험 원리 및 이론은 다음과 같다.
강체의 운동은 질량 중심의 운동만으로는 충분히 설명되지 않는다. 이는 질량 중심의 위치가 변하지 않더라도 강체가 얼마든지 회전 운동을 할 수 있기 때문이다. 일반적으로 강체의 운동에너지는 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합이 된다. 즉, 질량이 m, 관성모멘트가 I, 질량 중심의 이동 속력이 v_cm, 중심을 지나는 회전축에 대한 각속도가 ω인 강체의 운동에너지는 K= {1}/{2}mv^2_cm + {1}/{2}Iω^2이 된다.
비탈각이 φ인 비탈면을 관성모멘트가 I이고 반경이 R인 둥근강체가 미끄러짐 없이 굴러내려가는 경우를 생각해보자. 이 강체의 회전축의 방향은 구르는 동안 바뀌지 않고 질량 중심을 지난다고 하자. 처음 x=0의 지점에 정지해 있던 강체가 x만큼 굴러내려왔다면 에너지 보존에 의해 {1}/{2}mv^2_cm + {1}/{2}mgxsin φ 의 관계가 성립한다.
접촉면이 거칠어서 미끄러짐이 없이 완벽하게 구른다는 조건으로부터 강체가 이동한 거리 x는 강체 표면이 회전한 거리 Rθ와 같게 된다. 따라서 v_cm =Rω 관계가 성립한다. 이를 위 식에 대입하여 정리하면 v_cm = sqrt {(2gxsin φ)/(1+I/mR^2)}이 된다. 이를 시간에 대해 미분하면 가속도 a_cm을 얻을 수 있는데, a_cm = (gsinφ)/(1+I/mR^2)가 된다. 여기서 가속도는 일정함을 알 수 있다.
강체가 구를 수 있도록 토크(τ)를 주는 것은 마찰력으로, 마찰력을 f라고 하면 τ =Iα =I(a/R) =Rf의 관계가 성립하므로 f= (mgsinφ)/(1+mR^2/I)와 같이 마찰력의 크기를 구할 수 있다. 특히 실험에서 강체가 구인 경우 관성모멘트는 I= (2/5)mR^2이 된다.
1.4. 관성모멘트와 가속도
강체의 관성모멘트와 가속도에 대한 내용은 다음과 같다.
강체의 관성모멘트는 질량 중심을 중심으로 한 회전에 대한 물체의 관성을 나타내는 양으로, 질량 분포에 따라 달라진다. 예를 들어 동일한 질량을 가진 막대에서는 막대의 길이가 길수록 관성모멘트가 크다. 실험 시 관성모멘트 I를 알면 강체의 운동에 대한 정보를 얻을 수 있다. 비탈면을 구르는 강체의 경우 관성모멘트 I와 질량 m, 구름 반경 R의 관계식인 I = (2/5)mR^2가 성립한다.
강체가 비탈면을 구르는 경우 질량 중심의 가속도 a_cm은 식 (7.9) a_cm = (5/7)gsin(φ)와 같이 일정하다. 여기서 φ는 비탈각이다. 이때 질량 중심의 속도 v_cm은 식 (7.10) v_cm(t) = sqrt((10/7)gxsin(φ)) = a_cm t와 같이 시간에 따라 증가한다. 즉, 관성모멘트와 구름 반경에 따라 강체의 가속도와 속도가 달라지는 것을 알 수 있다.
이처럼 강체의 관성모멘트와 구름 운동에 대한 이해를 바탕으로 강체의 운동과 역학적 에너지 보존 관계를 설명할 수 있다. 이는 강체의 공간운동 실험을 통해 확인할 수 있다.
1.5. 마찰력과 구름 운동
접촉면이 거칠어서 미끄러짐 없이 완벽하게 구르는 경우, 강체의 회전축의 방향은 구르는 동안 바뀌지 않고 질량 중심을 지난다. 이 때 강체의 질량 중심의 가속도 a_cm와 속도 v_cm은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
a_cm = (gsin(φ))/(1+I/(mR^2)) (식 7.5)
v_cm(t) = √((10/7)gxsin(φ)) = a_cm t (식 7.10)
여기서 g는 중력가속도, φ는 비탈각, I는 관성모멘트, m은 질량, R은 반경이다. 이를 통해 알 수 있듯이, 강체가 구르는 동안 가속도 a_cm은 일정하며, 속도 v_cm는 시간에 비례하여 증가한다.
구르는 강체에 작용하는 마찰력 f는 다음과 같이 구할 수 있다.
f = (mgsin(φ))/(1+mR^2/I) (식 7.7)
이 때 마찰력 f는 최대 정지마찰력보다 클 수는 없다. 따라서 최대 정지마찰계수를 μ_s라 하면 다음 관계가 성립한다.
2mgsin(φ)/7 ≤ μ_s mg
즉, 구름 운동의 경우 미끄러짐 없이 구르므로 구르는 강체에 작용하는 마찰...
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