여러가지 분포에 대한 정의 및 예시

소개

여러가지 분포에 대하여 예를 들고 증명함

목차

□ 정규분포

□ 카이제곱

□ F분포

□ T분포

본문내용

□ 정규분포
○ 정규분포의 정의
- 신장(身長)의 분포, 지능(知能)의 분포 등 그 예는 많다. K.F.가우스가 측정오차의 분포에서 그 중요성을 강조하였기 때문에 이것을 가우스분포·오차분포라고도 하며, 그 곡선을 가우스곡선 또는 오차곡선이라 한다. 또한 A.J.케틀레가 통계에 이용하였으므로 이것을 케틀레곡선이라고도 한다.이 곡선의 함수는

로 된다. 여기서 m은 평균값,σ는 표준편차이므로, 정규분포는 평균값 m과 분산 σ2으로써 결정된다. 변수 x를 t＝(x－m)/σ에 의하여 t로 변환하여

를 만들면 (t)＝σf(x)로 된다. (t)는 m＝0, σ＝1인 정규분포이므로, 이 분포의 수치표를 만들면 그것에 의해서 여러 가지 m과 σ에 대한 f(x)의 수치를 구할 수가 있다.［그림］과 같이 곡선은 x＝m에서 최대이고 m에서 멀어짐에 따라 하강하여 x＝m±σ인 데에서 변곡(變曲)한다. 즉, 아래쪽으로의 오목이 위쪽으로 오목으로 변하게 된다.
또한 m에서 한없이 멀어짐에 따라 x축으로 한없이 접근한다. 분포곡선과 x축으로 둘러싸는 넓이가 전도수(全度數)를 나타낸다. f(x)나 (t)에서는 x나 t를 확률변수로 하고 있으므로, 넓이는 1로 된다. ［그림］에서와 같이 그 넓이는 x±m의 범위 내에서는 68.3%, m±2σ의 범위 내에서는 95.5%, m±3σ의 범위 내에서는 99.7%로 된다. 한편 2개의 확률변수 x1,x2가 독립이고, 각각 m1,σ12 및 m2,σ22의 평균값과 분산을 가지는 정규분포일 때, 변수 x1＋x2는 평균값 m1＋m2, 분산 σ12＋σ22의 정규분포가 된다. 이 사실로부터 중심극한정리(中心極限定理)의 특별한 경우인 ‘n개의 표본을 몇 개의 조(組)로 생각할 때, 그 평균값의 분포는 n을 크게 함으로써 자연히 평균값 m, 분산σ2/n인 정규분포에 한없이 접근한다. m과 σ2은 각각 모집단의 평균값과 분산으로 된다’라는 사실이 성립한다. 수리통계에서 이 정리는 매우 중요하다.
출처 : 두산동아 백과사전(네이버 지식 검색)

참고자료

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