[고체역학 설명문] 2. 응력과 변형률

소개

● 해당 글은 [고체역학]에서 [응력과 변형률] 관련 내용을 정리한 설명문입니다.
▷ 해당 글은 물리학과 학부생이 서적과 수업을 참고하여 작성한 것입니다.
▷ 주로 참고한 서적은 {Statics, Beer}입니다.
▷ 해당 글에 나타난 어느 문장도 서적에 등장한 것을 그대로 옮겨적지 아니하였으며, 개인이 이해하고 고찰한 내용을 직접 글로 풀어쓴 것입니다. 참고서적에 등장하는 내용에 추가설명이나 유도과정이 덧붙혀진 것이 있습니다.
▷ 해당 글은 시험에 대비하기 위해 창작한 정리노트의 일종이며, 일부 내용은 잘못되었을 수 있습니다.

목차

1. 응력
1) 응력 벡터
(1) 내력과 내력모멘트
(2) 응력벡터
2) 응력 텐서
(1) 정의
(2) 응력 텐서 미분 방정식
(3) 응력 행렬- 방향 행렬 관계식
3) 응력텐서의 축변환
(1) 좌표계의 축변환
(2) 축변환에 의한 응력텐서 변화
(3) 응력 주축
4) 2축 응력
(1) 정의
(2) 축변환에 의한 평면 응력텐서의 변화
(3) 응력 Mohr원

2. 변형률
1) 변형률(Strain)
2) 변형률 텐서
(1) 정의
(2) 응력 텐서 미분 방정식
3) 변형률 텐서의 축변환
(1) 변형률 주축
(2) 평면 변형률 상태

3. 구성방정식(Constitutive Equation)
(1) 응력 열벡터, 변형률 열벡터
(2) 응력 열벡터와 변형률 열벡터의 관계성

본문내용

(1) 내력과 내력모멘트
① 정의: 연속체 내에 존재하는 특정한 방향의 유한한 개곡면을 생각하자. 유한한 개곡면은 반드시 두 방향의 표면을 갖는데, 여기서 특정한 방향이라고 한 것은 두 방향 중 어느 하나만이 고려의 대상이라는 의미이다. 이때 이러한 곡면은 연속체 상의 것이므로 각 점에서 접촉에 의한 힘과 모멘트를 받게 되어있다. 이처럼 연속체 상의 한 곡면이 받는 힘과 모멘트를 각각 그 면이 받는 내력, 내력모멘트라고 한다.

② 특징
[가]. 분포성: 내력과 내력모멘트는 대상 곡면 상의 어느 한 점에 국소화되어 있지 않으며 표면 전체에 분포해 있다. 이것은 접촉이라는 현상이 한 점에서 국지적으로 벌어지는 게 아니라 표면 전체에서 행해지는 것이기 때문이다.
[나]. 외력의 전제: 내력과 내력모멘트는 해당 곡면과 연속체 간의 접촉에서 기인한다. 또 그러한 접촉력은 연속체가 명백한 외력, 외력모멘트의 작용 하에 있을 때 존재한다. 따라서 연속체가 아무런 외력, 모멘트를 받지 않으면, 그 어떤 곡면에도 내력과 내력모멘트가 인가되지 않는다.

(2) 응력벡터
공간 위의 한 점 O와, 이 점을 지나고 법선벡터가 인 한 평면을 생각하자. 만약 점 O가 어떤 물체 내부의 점이면, O 근방에서 이 평면은 물체 내부에 포함된다. 따라서 이 평면은 O 근방에서 내력을 받으며, O점에서의 이러한 내력의 밀도를 생각할 수 있다. 만약 점 O가 진공 상의 점이라면, 이 평면은 O 근방에서 크기가 0인 내력을 받는다. 그러므로 O점에서 내력의 밀도는 0이다. 이러한 관점에서 다음 세 개의 용어를 정의한다.

< 중 략 >

(2) 응력 열벡터와 변형률 열벡터의 관계성
물체에 변형이 일어나면 그 물체 내의 임의의 면 위 임의의 점에서 내력의 분포가 변할 것이다. 응력이 물체 내의 내력으로부터 정의되는 양임을 생각하면, 이러한 사실은 어떤 한 점에서 변형률 열벡터와 응력 열벡터가 명백한 상호 의존 관계에 있음을 시사한다.

참고자료

· 없음