암호학 개념 정리 (정수론)

최초 등록일
2020.08.23
최종 저작일
2020.07
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제3장. 기초 정수론 – 20.04.07~20.04.16
3.1 약수와 배수

정리 3.1 (나눗셈 정리)
∙ 임의로 주어진 정수 a와 양의 정수 b에 대하여
a = q·b + r, (0 ≤ r < b)를 만족하는 정수 q와 r이 “유일”하게 존재한다.
이때, q와 r을 각각 a를 b로 나눈 몫과 나머지라고 부른다. (즉 q : 몫, r : 나머지)

(증명 1)
집합 S = {a – k·b | k ∈ ℤ, a – kb ≥ 0}을 생각하자.
S에 속하는 원소들 중 가장 작은 수를 r이라 하면, r은 적당한 정수 q에 대하여 a – q·b꼴로 표시된다.
즉, r = a – q·b ≥ 0이다.

만약 r ≥ b라면, 0 ≤ r – b = (a – q·b) - b = a - (q + 1)·b이므로 a - (q + 1)·b ∈ S이고,
r = a – q·b > a - (q + 1)·b이다. 그러나 이것은 r이 S의 가장 작은 원소라는 사실에 모순이다.
따라서 r < b이어야 한다.

한편, a = q₁·b + r₁, a = q₂·b + r₂, 0 ≤ r₁, r₂ < b라 두면, q₁·b + r₁ = q₂·b + r₂,
즉 (q₁ - q₂)·b = r₂ - r₁ 이므로 r₂ - r₁은 b의 배수인데, -b < r₂ - r₁ < b이므로 r₂ - r₁ = 0,
즉 r₁ = r₂이고, 따라서 q₁ = q₂이다. 그러므로 a를 b로 나눈 몫 q와 나머지 r은 유일하게 결정된다.

(증명 2)
집합 S = {a – k·b | k ∈ ℤ, a – kb ≥ 0}을 생각하자.
S에 속하는 원소들 중 가장 작은 수를 r이라 하면, r은 적당한 정수 q에 대하여 a – q·b꼴로 표시된다.
즉, r = a – q·b ≥ 0이다.

만약 r ≥ b라면, 0 ≤ r – b = (a – q·b) - b = a - (q + 1)·b이므로 a - (q + 1)·b ∈ S이고,
r = a – q·b > a - (q + 1)·b이다. 그러나 이것은 r이 S의 가장 작은 원소라는 사실에 모순이다.
따라서 r < b이어야 한다.

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