중학교 수학영재 수업자료(정수론)

최초 등록일
2017.07.16
최종 저작일
2016.02
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목차

I. 소수
II. 유클리드 호제법
III. 합동식
IV. 수학적 귀납법

본문내용

우리가 어려서부터 낯설지 않게 사용한 수는 1, 2, 3... 등으로 표현이 되는 정수였다. 정수론은 이러한 정수의 성질을 연구하는 학문으로 대수학으로 연결되어진다.
‘수학은 모든 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다.’ 라는 수학자 Gauss의 말처럼 정수론에는 수학에서 필요한 유용한 아이디어가 풍부하고, 수학의 여러 분야 중에서 그 역사가 가장 오래된 분야이다. 정수론에서 사용되는 수학적 사고는 향후 수학 학습에서 유용하게 활용되는 바, 본 단원에서는 소수, 최대공약수와 최소공배수, 유클리드호제법, 합동식, 수학적 귀납법 등 정수론의 기본적이면서 중요한 개념들에 대해 알아보고자 한다.

I. 소수
(정의1) 1보다 큰 정수 의 양의 약수가 1과 밖에 없을 때, 정수 를 소수라고 한다.
그리고 어떤 정수 이 ± 1 과 이외의 약수를 가지면 이 정수 을 합성수라 한다.

18 = 2×9 이므로 2와 9은 18의 약수이다. 이 때, 2와 9를 18의 인수라고도 한다. 특히, 2는 소수이면서 18의 인수이다. 이와 같이 소수인 인수를 소인수라고 한 다.
특히 와 같이 자연수를 소수들만의 곱으로 표현하는 것을 소인수 분해한다고 한다.

(정의2) 정수 에 대하여 인 정수 가 존재하면 ‘는 로 나누어진다’ 라 고 말하며 로 나타낸다. 이때, 를 의 약수(divisor), 를 의 배수 (multiple) 라고 한다. 를 만족하는 가 없을 때, ‘는 를 나누지못한다’ 라고 하며 ∤ 로 표시한다.
(예제1) 2∣8 , 3∤5 , 7∣-14 , 4∣0 , -3∣-9 , 5∤7

(정리1) 자연수의 정렬성(Well Ordering Property)
공집합이 아닌 가 자연수 전체의 집합 의 부분집합이면 는 가장 작은 원소 를 가진다.

참고 자료

없음

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