확산방정식과 고체확산

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확산방정식
확산 : 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 상대적인 속도를 가지고 이동하는 것.
재료 내부에 어떤 원소의 농도기울기(Concentration gradient, dCi/dx)가 존재할 때, 농도가 높은 쪽에서 농도가 낮은 쪽으로 흐르는 물질의 양(Ji, flux)은 농도의 기울기에 비례한다.
Fick’s 제 1법칙 : Ji = -Di(dCi/dx)(1차원)
Di는 확산계수(diffusion coefficient or diffusivity) : 입자가 매질을 통하여 이동하는 확산속도의 크기를 나타내는 비례상수.
Ci는 확산하는 입자의 농도, 단위부피 당 입자의 개수나 몰수로 표시.
(입자는 원자, 분자, 이온, 점 결함, 전자, 정공 등을 모두 포함)
Fick’s 제 1법칙을 정상상태(steady state)의 확산식이라고도 부른다. 또 이 식에서 나타내는 음의 부호는 입자가 음의 농도기울기를 따라 움직인다는 것으로 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직인다는 것을 나타낸다.
만일 재료가 비등방성(anisotropic) 결정구조를 갖는 경우 각 격자방향으로의 확산계수가 서로 달라지게 된다.
Fick’s 제 1법칙 : Ji = -Dij∇Cj(3차원)
∇Ci = (∂Ci/∂x)i + (∂Ci/∂y)j + (∂Ci/∂z)k(i, j, k는 각 결정격자 방향으로의 단위벡터)
각 방향에 따른 입자 i의 흐름 양
Jx = -D11(∂Ci/∂x) – D12(∂Ci/∂y) –D13(∂Ci/∂z)
Jy = -D21(∂Ci/∂x) – D22(∂Ci/∂y) –D23(∂Ci/∂z)
Jz = -D31(∂Ci/∂x) – D32(∂Ci/∂y) –D33(∂Ci/∂z)

유사한 형태의 방정식
1. Fourier 열전달식 : Jq = -k(∂T/∂x)
2. Ohm의 전기전도식 : i = σ(∂V/∂x)

일반적으로 확산이 일어나는 것은 공간내의 농도차이를 없애기 위해 입자가 상대적인 속도로 움직이는 현상이지만 공간 내에 같은 힘이 전체적으로 작용하면 입자간 상대속도는 없지만 모든 입자가 같은 속도로 움직임으로써 입자의 흐름 양을 더해준다. 이를 강제적 유동(Forced convection)이라고 한다.
확산에 의한 입자흐름과 유동에 의한 입자흐름을 더한 총 흐름양은 다음과 같다.
J = 확산흐름 + 유동흐름 = -D∇c+c∙v
c는 입자의 농도로 단위부피 당 입자의 개수, v는 물리적인 힘에 의해 입자가 움직이는 유동속도(drift velocity)

참고자료

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