8 by 8 가오스소거법*(c++)

소개

씨 언어를 통한 가오스 소거법의 코딩 및 결과를 레폿 형식으로 작성한 글입니다.

목차

▶ Introduce Gauss Elimination Method

▶ Introduce Gauss Jordan Method

▶ 8 by 8 선형 연립방정식

▶ C언어 소스에 선형연립방정식 적용

▶ C언어 소스 및 선형연립방정식의 결과값

▶ 느낀점 및 고찰

본문내용

1. Introduce Gauss Elimination Method
- 단순 Gauss 소거법(naive Gauss elimination method) 은 n원 연립 선형 방정식

을 전진소거법(forward elimination)을 이용하여 아래와 같이 계수 행렬의 주 대각선 아래 모든 원소가 0인 상삼각행렬 형태로 바꾼 후, 후진대입법에 의해서 연립방정식의 해를 구한다.

이를 확대행렬로 나타내면 다음과 같다.

여기서 행렬 A의 (n+1)번째의 열의 원소는 주어진 방정식의 우변 벡터 b의 값들로 이다. 그리고 상첨자 (k)는 전진소거 과정에서 k번 수정되어 계산된 것을 의미하며, 그 계수들은 다음과 같이 계산된다.

여기서

이와 같이 주어진 방정식의 확대 행렬에 기본적 행 연산을 이용하여 주 대각선 아래의 원소 모두를 0으로 만드는 소거 과정을 전진소거 또는 Gauss소거라 한다.

2. Introduce Gauss Jordan Method
Gauss-jordan소거법을 다소 변형시킨 것으로 계수 행렬 A의 대각선 원소를 1로 만들고, 대각선 아래의 원소뿐만 아니라 대각선 위의 원소도 0으로 만든다. 따라서 수행렬 A는 소거 후 단위 행렬로 되어, 해를 구하는데 있어서 후진대입법을 사용할 필요가 없다. 즉, Ax=b의 확대행렬이 Gauss-jordan소거법이 적용된 후에는 다음과 같이 된다.
[ A : b ]  [ I : x ]
Gauss-jordan소거법의 연산수는 Gauss소거법에 비하여 약 50% 정도 더 요구되기 때문에, Gauss-jordan소거법은 연립방정식의 해를 구하는 데 있어 매우 비효율적이라고 할 수 있다. 따라서, 이 방법은 연립방정식의 해를 구하는데 이용되기보다는 아래와 같이 역행렬을 구할 때 많이 사용된다.
정방행렬 A에 대해서
AX = I : [ A : I ] ⋯ ⓐ
를 만족하는 행렬 X는 행렬 A의 역행렬 이다, 위의 식의 양변에 을 곱하면 다음과 같이 된다.

따라서,
⋯ ⓑ
이다. 식ⓐ와 식ⓑ를 비교하면 다음과 같이 됨을 알 수 있다.

참고자료

· 없음