수치해석 5장 숙제 - 수치 미분과 적분

소개

<수치 미분과 적분> 숙제입니다. 문제가 쓰여있진 않지만 자세한 풀이와 코드가 쓰여있습니다.

목차

수치해석 5장 1~6번 문제풀이

본문내용

►문제 1번

Newton의 전진차분 보간다항식에 의한 미분공식은

한편 차분표를 그려보면



위와 같이 Newton의 전진차분과 후진차분 보간다항식을 이용해서 편미분값을 구해보니 전진차분과 후진차분의 값을 3항까지 비교하였을 때 약간 다르게 나온다는 것을 알 수 있었다. 전진차분의 경우 1.9860 이고 후진차분의 경우 1.9888 인데 이 값의 차이는 우선 확산마무리오차가 생겼기 떄문일 수도 있고, 보간할 때 식을 절단했기 때문에 생기는 절단오차가 포함된 값일 수도 있다. 한편 주어진 식이 없어서 참값을 구해보지는 못했지만 만약 관계식이 주어져 있었다면 절대오차를 판단하여 전진차분과 후진차분 중 어느 것이 더 적절한 방법인지 판단할 수 있었을 것이다. 한편 4장에서 배운 최소자승법을 통한 적합곡선을 직접 구해서 절대오차에 가까운 오차를 구해볼 수도 있겠지만 주어진 데이터의 양이 매우 적고, 또한 이번 문제에서 적합곡선을 구하는 것은 문제의 범위를 넘어선다고 생각해서 따로 구해보지는 않았다.

►문제 2번

(a) 사다리꼴 법칙을 이용해서 문제를 풀어보자.

우선 구하고자 하는 값은 거리이고 주어진 식은 속도이므로 주어진 식을 적분하면 거리가 된다는 것을 인지하고 적분의 참값을 구해보자



사다리꼴 법칙과 Simpson의 1/3 법칙 모두 306.67로 값이 나왔지만 사다리꼴 법칙은 무려 512개의 구간을 잡고 계산하였고, Simpson의 1/3 법칙은 구간의 개수가 32일 때 원하는 값을 구할 수 있었다. 결론적으로 Simpson의 1/3 법칙을 이용하면 사다리꼴 법칙을 이용할 때 보다 더 빠르고 정확하게 값을 구할 수 있음을 알 수 있었다. 한편 오차의 감소비율을 보면 사다리꼴 법칙 보다 Simpson의 1/3 법칙이 오차의 변화가 훨씬 크고 빠르게 작아지는데 그 뜻은 역시 정확한 해를 구하는 계산 속도가 Simpson의 1/3 법칙이 훨씬 빠르다는 뜻이다. 그리고 사다리꼴 법칙에서 오차의 감소비율이 약 0.25 인데 이 값이 0.25, 즉, 1/4 의 값이 나온 이유는 구간이 1/2 로 줄면 오차는 1/4 로 줄어들기 때문임을 수업시간에 배웠다. 같은 방법으로 Simpson의 1/3 법칙의 경우 오차의 감소비율이 약 0.06 인데 구간이 1/2 로 줄면 오차는 1/16 로 줄어들기 때문이다. 이렇게 직접 계산을 하고 코딩을 해보면서 수업시간에 이론적으로 배웠던 사실이 옳다는 것을 새삼 깨닫게 되었다.

참고자료

· 없음