전남대학교 응용수치해석 Euler법 / 4차 RK법

소개

전남대학교 응용수치해석은 레포트 반영비율이 40%이기 때문에 레포트의 중요성이 매우 큰 과목이라고 할 수있습니다. 이 레포트는 Euler법 / 4차 RK법을 소개하고 문제접근을 한 후 M-file을작성하여 문제를 풀어 나갑니다.

목차

1. 서론

2. 본론
1) 상미분방정식의 Analytical method
2) Runge-Kutta 법
3) 고차 상미분방정식의 수치해석적 풀이(연립방정식 변환)
4) 4차 Runge-Kutta 방법을 이용한 연립 상미분방정식의 풀이를 위한 M-file
5) 해의 그래프적 표현

3. 결론

본문내용

2) Runge-Kutta 법
: Runge-Kutta(RK)법은 고차 도함수를 계산하지 않고도 Taylor 급수 방법이 갖는 정확도를 가진다. 이 방법에는 다양한 종류가 있지만 모두 아래와 같은 형식을 가지고 있다.



여기에서 Φ는 증분함수로 간격 전체를 대표하는 기울기라고 볼 수 있다. 증분함수는 일반적으로 다음과 같이 기술된다.

(a : 상수)

여기서 p와 q는 상수이다. 주목할 것은 k는 순환적 관계식이라는 점이다. 즉 k2에 대한 방정식에 k1이 나타나고, k3에 대한 방정식에 k2가 나타나는 등등이 반복된다. 각각의 k는 함수를 계산한 값이므로 이 순환식은 컴퓨터 계산에서 RK법을 효율적으로 수행할 수 있게 한다.
증분함수 내의 항의 수 n에 따라 여러 종류의 Runge-Kutta법이 유도될 수 있다. 1차 RK법은 n=1인 경우로 Euler법과 같음을 알 수 있다. 주로 쓰는 방식이 2차 Runge-Kutta법과 4차 Runge-Kutta법이 있다.
주로 쓰이는 방식은 4차 Runge-Kutta 법이다. Runge-Kutta법의 종류는 무한이 많으나 아래의 식이 전형적으로 사용되고 있는 식이다.

<중략>

5) 해의 그래프적 표현
: 문제를 analytical 방법을 통해서 해를 구한 결과 t에 의한 y의 함수가 cos함수로 표현되을 알 수 있었다. 이제 수치해석적 방법을 통해서 구한 해를 비교하기 위해서 t를 x축으로, y를 y축으로 하여 서로 그래프로 나태내어 표현 후 그 둘 차이를 비교하겠다. 그 두 해를 그래프로 표현한 것은 그림3과 같다. 그림 3에서 보이는 것과 같이 두 해가 거의 일치하고 있음을 알 수 있었다. 따라서 수치해석적인 방법으로 상미분방정식의 해를 쉽게 구할 수 있고 그 근의 값이 실제 이론값과 거의 일치함을 알 수 있었다.

참고자료

· 없음