오일러공식에 대하여

소개

오일러공식 전반적이 조사와 활용

목차

1.오일러 공식
2.오일러 공식의 역사
3.오일러 공식의 탄생 배경
4.오일러 공식의 증명
① 미적분을 이용한 방법
② 미분방정식을 이용한 방법
② 테일러급수를 이용한 방법
④ 직관과 유추에 의한 유도
<오일러공식의 활용>

본문내용

▸ 오일러 공식의 역사 : 오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 증명하였다.


지금과 같은 모양의 오일러의 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 `복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다`는 기하학적 의미를 눈치 채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 대수학 원론(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.
▸ 오일러 공식의 탄생 배경 :먼저 허수단위 에 대해서 이야기를 해 보겠습니다. 이차방정식 의 해는 실수범위에서는 존재하지 않습니다. 그래서 최초로 제곱해서 이 되는 수, 즉 허수단위 가 도입이 되었고 아울러 실수와 허수를 아우르는 꼴의 복소수가 도입이 되었습니다. 그리고 그 덕분에 "모든 차 방정식은 복소수의 범위 내에서 n개의 해를 가진다."라는 대수학의 기본정리를 정립할 수 있게 되었습니다.
그런데 이런 꼴의 복소수를 도입하고 보니, 기존에 실수를 가지고 행하던 기본적인 연산인 덧셈, 곱셈, 지수 연산을 복소수의 범위로 확장을 할 필요가 있게 되었습니다. 덧셈, 곱셈 연산은 기존의 실수 연산에서 행하던 방식대로 하되, 곱셈에 대해서만 이 된다는 정의를 잘 지켜주면 아무 문제가 없었습니다만, 문제는 허수단위 의 지수연산이었습니다.
그래서 어떤 실수에 대한 허수단위 의 지수연산, 예를 들어서 을 밑으로 잡아서 와 같은 연산에 대해서 연구를 하다 보니 이런 연산의 결과가 실수부는 함수, 허수부는 함수와 같은 형태, 즉 아래 그래프와 같은 파동함수의 형태로 나타난다는 것을 알게 되었습니다.

참고자료

· 없음