질량 밀도가 변하는 현에서의 파동방정식의 해석적 풀이 (Analytic Solutions for Vibrating Strings with Varying Mass Density)

서지정보

· 발행기관 : 한국물리학회
· 수록지 정보 : 새물리 / 70권 / 10호 / 880 ~ 884페이지
· 저자명 : 이원식

초록

질량밀도가 변하는 현이 진동하는 경우, 파동방정식의 일반적인 해석적 풀이는 알려져 있지 않는데, 본연구에서는 현의 밀도가 선형적으로 변하는 경우와 지수함수적으로 변하는 경우에 대해서 현의 진동이공간에 대해서 같은 위상을 가지는 mode 형태를 이룰 때는 해석적인 풀이가 있음을 보였다. 질량밀도가선형적으로 증가할 경우, 파동의 변위는 Bessel 함수 J1/3 와 Neumann 함수 N1/3 의 선형 결합으로표현되며, 특히 현의 위치 x 가 매우 커지면 이 두 함수로 표현되는 파동의 공간적 꼴은 1/ 4 p x 꼴로감소하며, 공간적 진동 사이의 간격은 1/ p x 에 비례하여 좁아진다. 한편 질량밀도가 지수함수적으로증가할 때에는 파동의 꼴은 음의 지수를 가지는 Bessel 함수 C 와 음의 지수를 가지는 Neumann 함수S 로 표현 되어지는데, 예상할 수 있는 것처럼 x ! 1 에서의 풀이는 삼각함수 꼴로 근사 되어진다.
그러나 x ! 1이 되면 파동의 변위는 지수 함수의 지수 함수 꼴로 감소하는 형태와 같은 꼴로 발산하는형태를 가진다. 실제 현의 경우는 현의 길이가 유한하므로 일반적인 풀이는 이 둘의 선형결합으로 나타낼수 있지만, x ! 1까지 현이 놓여 있을 경우에는 지극히 빠르게 증가하는 풀이는 존재할 수 없고, 그래서한 개의 독립적인 풀이만 가능하며, 파동의 마디는 고정되어진다. 그러나 유한한 길이의 현의 경우 는 C 로 나타내는 풀이와 S 로 나타내는 풀이가 모두 가능하며, 마디의 위치도 임의적인 곳에 있을 수 있다.

영어초록

In general, the analytic solutions of one-dimensional wave equations with position-dependent mass densities cannot be found. In this study, we solve the wave equations of strings for the cases of linearly or exponentially changing mass densities. When the mass density changes linearly, the solution can be written in terms of the Bessel function J1/3 and the Neunmann function N1/3: For large position x; the spatial form of the wave changes as 1/ 4 p x; and the spatial oscillation is narrowed with the length which is proportional to 1/ p x: When the mass density changes exponentially, the solution can be written in terms of the Bessel function and the Neunmann function with an imaginary order. As x ! 1; the solutions reduce to sine and cosine functions.
However, as x ! 1; two types of solutions exist, one increasing rapidly, and the other decaying rapidly. For a string of finite legnth both solutions are possible, but when a string stretches to x ! 1; the divergent solution is not allowed, and the string has fixed nodes.

참고자료

· 없음