연세대, 고려대 편입수학 대비용 자료 - 다변수함수 파트 묶음

목차

1.편도함수
2.다중적분

본문내용

1. 이변수함수의 정의
이변수함수란 독립변수가 2개인 함수를 말합니다. 수식으로 표현하자면 이러한 형태로 나타납니다.
이를 설명하기 위해 1변수함수일 때를 생각해보겠습니다. 1변수함수는 우리가 중학교, 고등학교 수학에서도 많이 접했듯이 축으로만 이루어진 상태에서 좌표에 의해 의 값이 결정되는 형태입니다. 여기서 는 독립변수가 되고, 는 종속변수가 됩니다.
똑같습니다. 이변수함수에서는 독립변수가 2개가 되고, 이 두 변수가 (종속변수)의 값을 결정하는 것입니다. 예를 들어, 이변수함수의 그래프가 실수 전체 구간에서 연속이라고 가정할 때,의 좌표가 라고 하면 여기에 해당하는 값이 반드시 존재할 것입니다.
그 값은 하나일수도 있고, 여러 개일 수도 있습니다. 여러 개일 수 있는 이유는 아파트를 생각하면 됩니다. 여러분이 아파트에 살고 있다고 가정할 때, 서로 같은 공간에 있어도 ‘위상’이 다른 이웃이 있습니다. 1층에 사는 이웃, 2층에 사는 이웃, 3층에 사는 이웃. 이렇게요. 설명이 길어졌는데, 기억해야할 것은 이변수함수는 일변수함수보다 독립변수의 수가 하나 더 많은 함수를 뜻하며 이를 그래프로 나타내면 3차원 공간으로 나타내진다는 말입니다.
아래 정의는 기호를 사용해서 보다 보기 편하게 작성한 것입니다.
- 이변수함수에서의 그래프 def. 가 정의역이 인 이변수함수이면 의 그래프는 에서 이고 인 모든 점의 집합이라고 합니다. 여기서 은 을 나타냅니다. 축 상에 있는 모든 실수, 축 상에 있는 모든 실수, 축 상에 있는 모든 실수를 전부 한 곳에 곱하면 이 되고 이것을 3차원 공간이라 부릅니다. 그리고 그래프의 정의는 모든 점들의 집합이라는 것에 맞게 정의역 에 속하는 좌표에 대응하는 점 와 더불어 의 점들을 모두 이은 것이 이변수함수의 그래프입니다.

2. 등위곡선 (level curve)
- 자, 여러분. 우리가 살면서 지도는 한번쯤은 본적이 있을 것입니다. 컴퓨터를 이용한 3D지도라던가, 종이에 인쇄된 2D형태의 지도로요. 등위곡선은 종이에 인쇄된 2D형태의 지도에서 나타난 ‘등고선’이라고 생각하시면 됩니다.

참고자료

· 스튜어트 미분적분학 8판