연세대, 고려대 편입수학 대비용 자료 - 다중적분

소개

연세대학교 그리고 고려대학교의 편입수학시험 대비용 자료입니다.

이번 자료는 우리가 대학수학을 배우면서 만나게되는 다중적분 파트의 정의,공식들을 제가 직접 유도하여

그 과정을 상세하게 설명해놨습니다.

이 자료는 연고대 자연계 편입을 준비하는 수험생들에게 큰 도움이 될 것입니다.

목차

1.다중적분

본문내용

1. 부피와 이중적분
일변수함수에서 적분에 대해 정의할 때를 떠올립시다. 좌표평면 상에서 축 상에서 폐구간 를 설정하고 이 구간을 등분합니다. 을 로 표기하고 (단, 독립변수의 증분은 미분과 같습니다. 따라서 델타를 로 표기해도 무방합니다.) (높이)를 밑변 와 곱한 것이 여러개로 등분한 직사각형들 중 하나입니다. 그러면 n등분 한 만큼 곱해줘야하니까 이렇게 표현할 수 있습니다. . 이제 이것을 적분기호로 표현하면 가 됩니다.
이것이 우리가 아는 일반적인 일변수함수에서의 정적분 정의입니다.
이변수함수에서도 동일합니다. 다만 독립변수가 두 개이기 때문에 복잡해보일 뿐입니다. 똑같이 가봅시다. 좌표평면 상에서 사각형 영역 가 놓여져 있다고 합시다. 그리고 이를 축에서 등분한 것을 로 두고 축에서 등분한 것을 로 둡시다.
그러면 는 영역 상에 있는 잘게 쪼갠 사각형 중 1개가 됩니다. 그러면 이제 이 사각형에 해당하는 높이를 구해야 합니다. 그렇죠? 그 높이가 바로 입니다. 그리고 형태로 표현하면 가 됩니다. (*는 표본점을 뜻합니다. 굳이 쓰지 않아도 큰 상관은 없습니다.) 그러면 이제 저 극한표현을 적분기호로 나타내면 로 표현할 수 있습니다. 이를 이중적분이라고 합니다. 보통은 로 표현하는데 위 식의 경우는 ‘반복적분’ 형태로 나타낸 이중적분입니다.

2. 푸비니 정리
푸비니 정리의 증명은 미적분학 수준에서는 많이 힘든 것으로 알고 있습니다. 따라서 푸비니 정리를 증명하라는 문제의 출제 가능성은 낮은 편이지만 간단하게나마 소개하겠습니다.
푸비니 정리 def. 가 직사각형 {}에서 연속이면 다음 식이 성립합니다.
추가 조건으로 만약 가 상에서 유계이고, 가 오직 유한개의 매끄러운 곡선상에서 불연속이며, 반복적분이 존재한다면 이 식이 성립합니다.

3. 일반영역 위의 이중적분
위 식은 일반적인 좌표평면이며 곡선 내부영역을 라고 하고 곡선 외부영역을 라고 하겠습니다. 그리고 두 영역의 합집합은 직사각형 영역 이라 하겠습니다. 이 뜻은 만약 의 이중적분이 영역 위에서 존재한다면 위에서 의 이중적분 값과 의 이중적분 값이 동일하다는 뜻입니다.

참고자료

· 스튜어트 미분적분학 8판