2차원 평면 2개 부재 유한요소법 구조해석

문서 내 토픽

1. 유한요소법(FEM) 기초 이론

유한요소법은 매트릭스 대수, 재료역학, 프로그래밍을 기반으로 하는 구조해석 방법이다. 복잡한 구조물을 작은 요소로 분할하여 각 요소의 강성도를 구하고 전체 구조물의 거동을 분석한다. 2차원 평면 요소에서는 직접강도법 대신 가상일의 원리를 이용하여 강성도 행렬을 도출한다. 삼각형 요소는 3개의 절점을 가지며 각 절점에서 x, y 방향 변위가 발생하여 총 6개의 자유도를 갖는다.
2. 삼각형 요소의 변위-절점변위 관계

삼각형 요소 내 변위는 선형적으로 변화하며 형상함수를 통해 절점변위의 함수로 표현된다. x방향 변위와 y방향 변위는 각각 1차 다항식으로 가정되며, 역행렬을 이용하여 절점변위와의 관계식을 유도한다. 형상함수는 각 절점에서 1의 값을 가지고 다른 절점에서 0의 값을 가지는 특성을 갖는다.
3. 평면응력과 평면변형률 상태

평면응력은 얇은 판이 면내하중을 받는 경우로 z방향 응력 성분을 무시하며, z방향 변형률은 존재한다. 평면변형률은 댐이나 터널 같이 양쪽이 구속되고 횡방향 하중을 받는 경우로 z방향 변형률을 무시하며, z방향 응력은 존재한다. 두 상태의 응력-변형률 행렬은 다르며, 이에 따라 강성도 행렬 계산이 달라진다.
4. 강성도 행렬과 절점변위 계산

각 요소의 강성도 행렬은 변형률-절점변위 행렬[B]와 응력-변형률 행렬[D]를 이용하여 계산된다. 전체 구조물의 강성도 행렬은 각 요소의 강성도 행렬을 조합하여 구성된다. 경계조건을 적용한 후 절점 하중과 강성도 행렬의 관계식을 풀어 절점변위를 구한다. 가우스 소거법 등을 이용하여 역행렬을 계산하고 변위를 도출한다.

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1. 유한요소법(FEM) 기초 이론

유한요소법은 복잡한 공학 문제를 작은 요소로 분할하여 수치적으로 해결하는 강력한 도구입니다. 연속체 역학 문제를 이산화하여 컴퓨터로 계산 가능하게 만드는 점이 혁신적입니다. 기초 이론의 이해는 정확한 모델링과 신뢰할 수 있는 결과 도출에 필수적입니다. 변분법과 가중잔차법 같은 수학적 기초를 철저히 학습하면, 다양한 공학 분야에서 FEM을 효과적으로 적용할 수 있습니다. 특히 구조해석, 열전달, 유체역학 등 광범위한 분야에서의 활용 가능성이 매우 높아 현대 공학 교육에서 필수 과목이 되었습니다.
2. 삼각형 요소의 변위-절점변위 관계

삼각형 요소는 FEM에서 가장 기본적이고 널리 사용되는 요소입니다. 선형 삼각형 요소의 변위-절점변위 관계는 형상함수를 통해 요소 내 임의의 점의 변위를 절점 변위의 선형결합으로 표현합니다. 이러한 관계식은 강성도 행렬 유도의 핵심이며, 계산의 정확성을 좌우합니다. 형상함수의 성질을 정확히 이해하면 고차 요소로의 확장도 용이합니다. 실무에서는 삼각형 요소의 메시 생성이 간단하고 복잡한 형상에 적응하기 쉬워 매우 실용적입니다.
3. 평면응력과 평면변형률 상태

평면응력과 평면변형률은 3차원 문제를 2차원으로 단순화하는 중요한 가정입니다. 평면응력은 얇은 판 문제에, 평면변형률은 두꺼운 구조물의 단면 해석에 적합합니다. 두 상태의 구성방정식이 다르므로 문제의 특성을 정확히 파악하여 올바른 가정을 선택하는 것이 중요합니다. 이 가정들은 계산량을 크게 줄이면서도 공학적으로 충분한 정확도를 제공합니다. 실제 설계 문제에서 어느 상태를 적용할지 판단하는 능력은 FEM 해석의 신뢰성을 결정하는 핵심 요소입니다.
4. 강성도 행렬과 절점변위 계산

강성도 행렬은 구조물의 강성 특성을 나타내는 핵심 매개변수로, 요소 강성도 행렬을 조립하여 전체 구조의 강성도 행렬을 구성합니다. 경계조건을 적용한 후 선형 연립방정식을 풀어 절점변위를 계산합니다. 이 과정에서 수치해석적 안정성과 효율성이 중요하며, 대규모 문제에서는 적절한 솔버 선택이 필수입니다. 절점변위로부터 변형률과 응력을 계산하여 구조의 안전성을 평가합니다. 강성도 행렬의 특성을 이해하면 해석 결과의 타당성을 검증하고 모델 개선 방향을 제시할 수 있습니다.

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