유한요소법 구조해석: 2차원 평면 1개 부재 수계산

문서 내 토픽

1. 유한요소법(FEM) 기초 이론

유한요소법은 매트릭스 대수, 재료역학, 프로그래밍을 기반으로 하는 구조해석 방법이다. 2차원 면요소의 강성도를 구하기 위해 직접강도법 대신 가상일의 원리를 사용한다. 삼각형 요소는 3개의 절점을 가지며 각 절점에서 x, y 방향 2개의 변위가 발생하여 총 6개의 자유도를 갖는다. 요소 내 변위는 선형적으로 변화하며 응력과 변형률은 일정하다.
2. 삼각형 요소의 변위-변형률-응력 관계

삼각형 요소 내 변위는 형상함수를 통해 절점변위의 함수로 표현된다. 변형률-절점변위 관계는 [B] 매트릭스로 표현되며, 요소 내에서 일정한 값을 갖는다. 응력-변형률 관계는 [D] 매트릭스(탄성계수 행렬)로 표현되며, 평면응력과 평면변형률 상태에 따라 다르게 정의된다. 이들 관계식을 통해 절점변위로부터 요소 내 응력을 계산할 수 있다.
3. 평면응력과 평면변형률 상태

평면응력 상태는 얇은 판이 면내하중을 받을 때 z방향 응력을 무시하는 경우이며, 판의 두께가 변한다. 평면변형률 상태는 댐이나 터널 같이 z방향 변형이 구속될 때 z방향 변형률을 무시하는 경우이며, 판의 두께는 변하지 않는다. 동일한 하중에서 평면변형률 상태가 평면응력 상태보다 변형은 작지만 응력과 반력은 더 크다.
4. 강성도 매트릭스와 절점 하중-변위 관계

가상일의 원리를 이용하여 요소 강성도 매트릭스 [K]를 유도한다. 절점 하중 벡터 {F}와 절점 변위 벡터 {d}의 관계식은 [K]{d}={F}로 표현된다. 이 식을 풀어 절점 변위를 구하면, 이를 통해 요소 내 변위, 변형률, 응력을 순차적으로 계산할 수 있다. 지지점의 반력도 강성도 매트릭스와 절점 변위로부터 구할 수 있다.

Easy AI와 토픽 톺아보기

1. 유한요소법(FEM) 기초 이론

유한요소법은 복잡한 공학 문제를 작은 요소로 분할하여 수치적으로 해결하는 강력한 도구입니다. 연속체 역학 문제를 이산화하는 과정에서 변분원리와 가중잔차법이 핵심적 역할을 하며, 이를 통해 근사해를 얻을 수 있습니다. FEM의 기초 이론을 이해하는 것은 구조해석, 열전달, 유체역학 등 다양한 분야의 시뮬레이션에 필수적입니다. 특히 형상함수의 개념과 적분 공식의 정확한 이해가 정확한 해석을 위해 중요하며, 이는 현대 공학 설계에서 필수불가결한 기술입니다.
2. 삼각형 요소의 변위-변형률-응력 관계

삼각형 요소는 FEM에서 가장 기본적이고 널리 사용되는 요소 형태입니다. 선형 삼각형 요소에서 변위는 절점 변위의 선형 조합으로 표현되며, 이로부터 유도되는 변형률은 상수값을 가집니다. 변위-변형률-응력의 연쇄적 관계는 구성방정식을 통해 연결되며, 이 관계식들이 정확하게 설정되어야 신뢰할 수 있는 해석 결과를 얻을 수 있습니다. 삼각형 요소의 단순성과 유연성은 복잡한 형상의 메시 생성을 용이하게 하여 실무 적용성이 매우 높습니다.
3. 평면응력과 평면변형률 상태

평면응력과 평면변형률은 3차원 문제를 2차원으로 단순화하는 중요한 가정입니다. 평면응력 상태는 얇은 판 구조에 적용되며 두께 방향 응력이 무시되고, 평면변형률 상태는 두꺼운 구조나 댐 같은 장대 구조에 적용되어 두께 방향 변형이 제약됩니다. 두 상태의 구성행렬은 서로 다르므로 문제의 특성을 정확히 파악하여 올바른 가정을 선택하는 것이 중요합니다. 이러한 단순화는 계산 효율성을 크게 향상시키면서도 대부분의 실무 문제에서 충분한 정확도를 제공합니다.
4. 강성도 매트릭스와 절점 하중-변위 관계

강성도 매트릭스는 FEM의 핵심으로, 구조의 기하학적 특성과 재료 특성을 종합적으로 반영합니다. 요소 강성도 매트릭스를 조립하여 전체 구조의 전역 강성도 매트릭스를 구성하고, 이를 통해 절점 하중과 절점 변위 사이의 선형 관계식을 수립합니다. 경계조건을 적용한 후 이 연립방정식을 풀면 절점 변위를 구할 수 있으며, 이로부터 각 요소의 변형률과 응력을 계산할 수 있습니다. 강성도 매트릭스의 대칭성과 양정치 특성은 수치해석의 안정성과 효율성을 보장하는 중요한 성질입니다.