엑셀로 따라하는 유한요소법 구조해석

문서 내 토픽

1. 유한요소법(FEM) 구조해석

유한요소법은 복잡한 구조물을 작은 요소로 나누어 수치해석하는 방법입니다. 본 자료는 2개의 직선 부재로 모델링된 포물선 아치 구조를 대상으로 합니다. 각 부재의 강성도 매트릭스를 계산하고 좌표변환을 통해 전체 구조물의 강성도 매트릭스를 조립합니다. 경계조건을 적용하여 수정된 강성도 매트릭스를 얻고, 역매트릭스 계산으로 절점 변위를 구합니다.
2. 강성도 매트릭스(Stiffness Matrix)

강성도 매트릭스는 구조물의 강성 특성을 나타내는 6×6 행렬입니다. 국부좌표계에서 계산된 부재 강성도 매트릭스는 좌표변환 매트릭스를 이용하여 전체좌표계로 변환됩니다. 부재1과 부재2의 강성도 매트릭스를 조립하여 전체 구조물의 강성도 매트릭스를 형성합니다. 경계조건 적용 후 수정된 강성도 매트릭스로부터 절점 변위를 계산합니다.
3. 좌표변환 및 변위 계산

국부좌표계의 강성도 매트릭스를 전체좌표계로 변환하기 위해 좌표변환 매트릭스를 사용합니다. 부재1은 경사각 약 3.44도, 부재2는 약 1.15도입니다. 경계조건(양단고정)을 적용하여 자유도를 제거한 후 역매트릭스를 계산합니다. 등가격점하중에 대한 절점 변위(u2, v2, θ2, v3)를 구합니다.
4. 반력 계산 및 검산

절점 변위가 계산되면 고정단의 반력을 구합니다. 절점 1과 3의 고정단 반력(X, Y, M 방향)을 계산하여 최종 반력을 얻습니다. 검산 과정에서 강성도 매트릭스와 변위를 곱하여 하중과의 일치성을 확인합니다. 이를 통해 계산의 정확성을 검증합니다.

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1. 유한요소법(FEM) 구조해석

유한요소법은 복잡한 구조물의 응력과 변위를 수치적으로 해석하는 강력한 도구입니다. 연속체를 작은 요소로 이산화하여 각 요소의 거동을 분석하고 전체 구조의 응답을 예측할 수 있습니다. 현대 공학에서 건축, 기계, 항공우주 등 다양한 분야에서 필수적인 기술이 되었습니다. 특히 비선형 해석, 동적 해석, 열전달 해석 등으로 확장되면서 그 활용 범위가 계속 증가하고 있습니다. 다만 모델링의 정확성, 요소 크기 결정, 경계조건 설정 등에서 엔지니어의 경험과 판단이 중요하며, 결과 해석 시 물리적 타당성을 항상 검증해야 합니다.
2. 강성도 매트릭스(Stiffness Matrix)

강성도 매트릭스는 유한요소법의 핵심으로, 구조물의 강성 특성을 수학적으로 표현합니다. 각 요소의 강성도 매트릭스를 조립하여 전체 구조의 전역 강성도 매트릭스를 구성하는 과정은 FEM의 기본입니다. 강성도 매트릭스의 대칭성, 양정치성 등의 수학적 성질은 효율적인 수치해석을 가능하게 합니다. 요소 형태, 재료 특성, 기하학적 형상에 따라 강성도 매트릭스가 결정되므로, 정확한 강성도 계산은 신뢰할 수 있는 해석 결과의 전제조건입니다. 현대 FEM 소프트웨어는 이를 자동으로 계산하지만, 기본 원리 이해는 모델링 오류 발견과 결과 검증에 필수적입니다.
3. 좌표변환 및 변위 계산

좌표변환은 국부 좌표계에서 정의된 요소의 강성도를 전역 좌표계로 변환하는 중요한 과정입니다. 회전 매트릭스를 이용한 좌표변환을 통해 서로 다른 방향의 요소들을 통일된 좌표계에서 다룰 수 있습니다. 변위 계산은 강성도 방정식 [K]{u}={F}를 풀어 각 절점의 변위를 구하는 과정으로, 경계조건 적용이 매우 중요합니다. 부정정 구조에서는 경계조건이 부족하면 특이 매트릭스가 되어 해를 구할 수 없으므로 신중한 모델링이 필요합니다. 변위 계산 후 각 요소의 변형률과 응력을 역으로 계산하여 구조의 안전성을 평가합니다.
4. 반력 계산 및 검산

반력 계산은 구조해석의 마지막 단계로, 지지점에서 발생하는 반력을 구하는 과정입니다. 변위 계산 후 반력은 {R}=[K]{u}-{F} 관계식으로 구할 수 있습니다. 반력 검산은 해석 결과의 신뢰성을 확인하는 중요한 단계로, 전체 외력과 반력의 합이 영(0)이 되어야 하고, 모멘트 평형도 만족해야 합니다. 이러한 평형 검증을 통해 모델링 오류, 경계조건 설정 오류, 수치 계산 오류 등을 발견할 수 있습니다. 반력이 물리적으로 타당한지, 예상되는 크기와 방향인지 검토하는 엔지니어의 판단도 중요합니다. 정확한 반력 계산은 기초 설계, 지지부 설계 등 후속 설계 단계의 기초가 됩니다.

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