엑셀로 따라하는 유한요소법 구조해석

본 내용은 " 엑셀(2개부재)로 따라하는 유한요소법 구조해석 " 의 원문 자료에서 일부 인용된 것입니다. 2025.05.16

문서 내 토픽

• 1. 유한요소법(FEM)의 기초 이론

  유한요소법은 매트릭스 대수, 재료역학, 프로그래밍을 통합하는 구조해석 방법이다. 복잡한 구조물을 작은 요소로 분할하여 각 요소의 강성도 매트릭스를 구성하고 이를 조합하여 전체 구조물의 거동을 분석한다. 본 자료는 2개 부재의 간단한 구조물을 엑셀로 직접 계산하여 유한요소법의 본질을 이해하도록 구성되었다.

• 2. 강성도 매트릭스(Stiffness Matrix)

  강성도 매트릭스는 구조물의 강성 특성을 나타내는 핵심 요소이다. 국부좌표계의 부재 강성도 매트릭스는 축력, 전단력, 휨모멘트를 포함하며, 좌표변환을 통해 전체좌표계로 변환된다. 라멘 부재의 경우 축방향 강성도와 휨 강성도를 합성하여 6×6 매트릭스를 구성한다. 전체 구조물의 강성도 매트릭스는 각 부재의 강성도 매트릭스를 중첩하여 얻는다.

• 3. 좌표변환과 변위 계산

  국부좌표계의 부재 강성도를 전체좌표계로 변환하기 위해 좌표변환 매트릭스 T를 사용한다. 전체좌표 부재 강성도는 K=T^T·K_bar·T 식으로 계산된다. 경계조건을 적용하여 재배열된 강성도 매트릭스에서 역행렬을 구하면 변위를 계산할 수 있다. 변위 d=K_AA^(-1)·P_A 식으로 구한 변위는 반력 계산의 기초가 된다.

• 4. 등가격점하중과 반력

  부재에 작용하는 등분포하중은 유한요소법 적용을 위해 격점에 작용하는 등가격점하중으로 변환되어야 한다. 고정단 반력과 반대 부호를 가지며, 변위가 발생하지 않는 격점의 등가격점하중은 나중에 보정반력으로 반영된다. 최종 반력은 계산반력과 보정반력을 합산하여 구한다.

Easy AI와 토픽 톺아보기

• 1. 유한요소법(FEM)의 기초 이론

  유한요소법은 복잡한 구조물의 응력과 변형을 수치적으로 해석하는 강력한 도구입니다. 연속체를 작은 요소로 분할하여 각 요소의 거동을 분석하고 이를 조합하는 방식은 매우 효율적입니다. 특히 불규칙한 형상이나 복잡한 경계조건을 가진 문제에서 해석적 해법이 불가능할 때 매우 유용합니다. 다만 요소의 크기와 형태, 메시 생성 방식에 따라 결과의 정확도가 크게 달라지므로 충분한 이해와 경험이 필요합니다. 현대 공학에서 구조해석, 열전달, 유체역학 등 다양한 분야에 적용되고 있어 기초 이론의 습득은 매우 중요합니다.

• 2. 강성도 매트릭스(Stiffness Matrix)

  강성도 매트릭스는 유한요소법의 핵심으로, 구조물의 강성 특성을 수학적으로 표현합니다. 각 요소의 강성도 매트릭스를 조립하여 전체 구조의 강성도 매트릭스를 만드는 과정은 체계적이고 논리적입니다. 강성도 매트릭스의 대칭성과 양정치(positive definite) 특성은 수치해석의 안정성을 보장합니다. 이를 통해 하중과 변위의 관계식 [K]{u}={F}를 세울 수 있으며, 이는 구조해석의 기본 방정식입니다. 강성도 매트릭스를 정확히 이해하는 것이 유한요소법 전체를 이해하는 데 필수적입니다.

• 3. 좌표변환과 변위 계산

  좌표변환은 국소좌표계에서 전역좌표계로 변환하는 과정으로, 유한요소법에서 매우 중요한 단계입니다. 회전변환 매트릭스를 이용한 좌표변환은 각 요소의 강성도 매트릭스를 전체 구조의 좌표계에 맞추는 데 필수적입니다. 변위 계산은 강성도 방정식을 풀어 절점의 변위를 구하는 과정이며, 이로부터 각 요소 내의 변위분포를 보간함수로 표현할 수 있습니다. 정확한 좌표변환과 변위 계산은 응력, 변형률 등 다른 물리량의 정확도에 직접적인 영향을 미치므로 신중한 계산이 필요합니다.

• 4. 등가격점하중과 반력

  등가격점하중은 분포하중을 절점에 집중된 하중으로 변환하는 개념으로, 유한요소법의 실용성을 높입니다. 가상일의 원리를 이용하여 분포하중을 등가격점하중으로 변환하는 과정은 수학적으로 엄밀하며 물리적 의미도 명확합니다. 반력은 경계조건에서 구조물이 외부 하중에 저항하는 힘으로, 강성도 방정식의 해로부터 계산됩니다. 등가격점하중과 반력의 합이 외부 하중과 평형을 이루는지 확인하는 것은 해석 결과의 타당성을 검증하는 중요한 방법입니다. 이들 개념의 정확한 이해는 신뢰할 수 있는 구조해석을 위해 필수적입니다.