소개글
"적분 연구 동기"에 대한 내용입니다.
목차
1. 리만적분과 르베그 적분의 비교
1.1. 리만적분
1.1.1. 리만상합과 리만하합
1.1.2. 리만적분의 약점
1.2. 르베그 적분
1.2.1. 르베그 적분의 정의
1.2.2. 르베그 적분의 중요한 정리
1.3. 리만적분과 르베그 적분의 차이
2. 약물의 혈중농도 이해
2.1. 약물동태학과 혈중농도 공식
2.2. 곡선하면적의 적분
2.3. 사다리꼴 공식을 이용한 AUC 계산
2.4. 적분을 이용한 AUC 계산
3. 자율주행 자동차 속 극한, 적분
3.1. 자율주행 자동차의 정의 및 특징
3.2. 자율주행 자동차의 작동 방식에서 발견되는 극한, 정적분 원리
3.3. 자율주행 자동차의 개발 현황과 미래 방향성 예측
4. 참고 문헌
본문내용
1. 리만적분과 르베그 적분의 비교
1.1. 리만적분
1.1.1. 리만상합과 리만하합
리만상합과 리만하합은 리만적분을 구하는 방법 중 하나이다. 리만상합은 정의역을 유한한 개수의 구간으로 나눈 뒤 각 구간의 오른쪽 끝점에서의 함숫값을 이용하여 직사각형의 넓이를 계산하고 이를 모두 더한 값이다. 반면에 리만하합은 각 구간의 왼쪽 끝점에서의 함숫값을 이용하여 직사각형의 넓이를 계산하고 이를 모두 더한 값이다. 리만상합과 리만하합은 분할되는 구간의 길이가 0으로 수렴할 때 수렴하는 값이 동일하면 이를 리만적분이라고 정의한다. 따라서 리만상합과 리만하합은 리만적분을 구하기 위해 사용되는 두 가지 방법이라고 할 수 있다.
1.1.2. 리만적분의 약점
리만적분은 적분 구간을 유한한 구간으로 나눈 후에 직사각형을 이용하여 넓이를 구하는 적분 방법으로, 이 방법에는 몇 가지 약점이 존재한다.
첫째, 불연속 함수의 경우 리만적분이 성립하지 않는다. 정의역이 닫힌구간 [0, 1]이고, 이 구간의 원소가 유리수이면 1을 무리수이면 0이 대응되는 함수인 "디리클레 함수"는 대표적인 불연속 함수이다. 이 함수에 대한 리만하적분과 리만상적분을 구해보면 두 개의 값은 같지 않다. 따라서 디리클레 함수는 리만적분이 불가능하다.
둘째, 무계함수의 경우에도 리만적분이 성립하지 않는다. 정의역 닫힌구간 [0, 1]에서 다음과 같은 함수를 정의해보자. 이 함수의 리만상합은 항상 무한대로 간다. 따라서 함수를 적분하려면 적분에 극한을 취해야 한다. 이처럼 무계함수에 대해 리만하적분과 리만상적분이 같을 때 리만적분이 존재할 수 있다는 논리로 접근하게 되면 모순이 생긴다.
마지막으로, 함수열 fn에 대해 각각이 리만적분 가능하고, 함수열 fn이 함수 f에 수렴해도 함수 f는 리만적분이 가능하지 않은 경우도 있다. 예를 들어 디리클레 함수와 같은 불연속 함수의 경우가 이에 해당한다.
이처럼 리만적분은 불연속 함수, 무계함수, 함수열의 극한 등의 경우에 한계가 있어, 이를 극복하기 위해 측도론에 기반한 르베그 적분이 등장하게 되었다.
1.2. 르베그 적분
1.2.1. 르베그 적분의 정의
르베그 적분의 정의는 다음과 같다. 측도공간에서 정의된 적분인 르베그 적분은 리만 적분이 함수의 정의역을 쪼개어 직사각형의 넓이를 이용하여 적분을 정의했다면, 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의하는 것이다.
단순 함수의 르베그 적분은 아래와 같이 정의된다. 집합 A에서 정의된 단순 함수 f(x)의 르베그 적분은 f(x)의 값이 일정한 부분 집합들의 합으로 나타내고, 각 부분 집합에 해당하는 크기와 해당 값을 곱한 값들을 더한 것이다.
음이 아닌 가측 함수의 르베그 적분은 양의 함수 f+와 음의 함수 f-로 분리하여 정의된다.
가측 함수f의 르베그 적분은 양의 함수 f+와 음의 함수 f-로 분리하고, 각각의 르베그 적분을 구한 후 그 차이를 취하여 정의된다.
이처럼 르베그 적분은 리만 적분과는 달리 함수의 값을 쪼개어 적분을 정의함으로써 리만 적분이 불가능했던 불연속함수, 무계함수에 대해서도 적분이 가능하게 된다는 장점이 있다.
1.2.2. 르베그 적분의 중요한 정리
르베그 적분의 중요한 정리는 다음과 같다.
단순 수렴 정리는 단순 함수의 수렴 성질을 보여주는 정리이다. 즉, 단순 함수열 {fn}이 단순 함수 f에 nⓧ∞에서 수렴하면, 단순 함수 f의 르베그 적분은 해당 함수열의 르베그 적분의 극한값과 같다는 것을 의미한다. 이를 통해 단순 함수의 경우 적분 순서를 바꿀 수 있다는 것을 알 수 있다.
파투의 보조정리는 비음 가측 함수에 대한...
참고 자료
르벡적분과 적분가능 함수공간 , 2010 , 이인선 , 원광대학교
적분개념의 발달 : 리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로 , 2008 , 김경화 , 한국수학사학회지
구분구적법과 정적분의 개념 분석, 2008 , 신보미 외 1 명 , 한국학교수학회논문집
수학백과 리만적분
수학백과 르베그 적분
신약개발을 위한 실전 약동학Ⅰ
https://www.healthpro.or.kr/health/viewC.php?number=51&cat=6
https://www.koreascience.or.kr/article/CFKO201924664107457.pdf
(“PID 제어를 이용한 자율주행자동차의 차선 추적“ 논문: 저자-김현식, 장재영, 김찬수, 전중남, 출판사-2019년 추계학술발표대회 논문집 제26권 제2호 (2019. 11))
https://www.sciencetimes.co.kr/news/%EC%9E%90%EC%9C%A8%EC%A3%BC%ED%96%89-%EC%9E%90%EB%8F%99%EC%B0%A8-%EC%99%84%EC%A0%84-%EC%9E%90%EC%9C%A8%EC%A3%BC%ED%96%89%EC%97%90-%EB%8F%84%EC%A0%84%ED%95%98%EB%8B%A4/ (“자율주행 자동차, 완전 자율주행에 도전하다” 기사: 저자-김현정 기자, 기사 종류-The Science Times)
https://www.youtube.com/watch?v=N7iEtB5uG_s (“사람보다 안전성이 10배 이상 뛰어난 '자율 주행 자동차' 차이나는 클라스(jtbclecture) 185회 | JTBC 201130 방송“ 유튜브 영상)
더 이상한 수학책 (저자: 벤 올린, 출판사: 북라이프)
https://www.youtube.com/watch?v=EXO3we-jwuc (“완전 자율주행차를 만들 때 필요한 것 | 자율주행 세상을 바꾸다 4편” 유튜브 영상)
http://wiki.hash.kr/index.php/%EC%9E%90%EC%9C%A8%EC%A3%BC%ED%96%89_%EC%9E%90%EB%8F%99%EC%B0%A8 (“자율주행 자동차에 대하여”-해시넷 사이트)
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