본문내용
1. 미적분과 건축
1.1. 미적분이란?
미적분이란 미분과 적분의 수학적 이론을 말하며, 1670년대 후반에 라이프니츠가 만들었고, 약 10년 정도 후에 뉴턴은 유율법을 만들어 미적분에 이용하였다. 라이프니츠나 뉴턴의 방법 모두 무한소 문제를 풀기 위한 것이었으며 곡선의 접선, 호의 길이, 곡률 반경, 무게중심, 면적(넓이), 부피[해석학]를 구하기 위해서 쓰였다.
우리가 살고 있는 세상은 모든 것이 움직이고 변하는데, 미분은 이처럼 움직이는 대상을 다루며, 반면 적분은 도형의 넓이, 부피와 같이 움직이지 않는 대상을 다룬다. 미적분은 17세기에 뉴턴과 라이프니츠에 의해 완성되었다. 17세기에 완성된 미분과 달리 적분은 기원전부터 아이디어가 알려져 있었다. 세상의 모든 것은 움직이고 변하는데, 왜 움직이는 대상을 연구하는 미분이 17세기에 이르러서야 비로소 시작되었을까? 간단한 예를 들어보면, 어떤 사람의 키를 재려고 할 때 가만히 멈추어 있을 때 재는 것과 움직이고 있을 때 재는 것 중 어느 쪽이 더 쉬울까? 움직일 때 재는 것이 훨씬 어렵다. 미분과 적분도 비슷한데, 움직이는 대상을 연구하는 미분은 17세기에 이르러서야 비로소 시작되었다.
1.2. 건축 속 미적분
1.2.1. 연속함수
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속이라고 한다. 또 어떤 구간에서 연속인 함수를 연속함수라고 한다.
함수 f(x)가 열린구간(a, b)에서 연속이고, lim_{x->a+} {f(x)=f(a)}, lim_{x->b-} {f(x)=f(b)} 를 모두 만족시킬 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b] 에서 연속이라고 한다.
연속함수는 물리적 현상을 연속적으로 표현할 수 있어 건축 설계 등 다양한 분야에서 중요하게 활용된다. 건축가들은 연속함수를 통해 자연스러운 곡선, 유동적인 구조 등을 구현할 수 있다. 예를 들어, 프랑스 파리의 에펠탑이나 미국 샌프란시스코의 금문교는 연속함수의 특성을 잘 활용한 대표적인 건축물이다. 이처럼 연속함수는 건축 분야에서 아름다운 곡선미와 안정성을 동시에 확보하는데 기여한다고 볼 수 있다.
1.2.2. 미분가능과 연속성
함수f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다.
이는 미분가능성과 연속성의 관계를 설명하는 명제이다. 함수f(x)가 x=a에서 미분가능하다는 것은 그 점에서의 극한 lim_{x->a} {f(x) - f(a)} / {x-a}가 존재한다는 의미이다. 이때 이 극한값이 존재하기 위해서는 함수f(x)가 그 점에서 연속이어야 한다. 따라서 함수f(x)가 x=a에서 미분가능하다면 필연적으로 그 점에서 연속이다.
반대로, 함수f(x)가 x=a에서 연속이 아니면 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않다.
연속이 아니라는 것은 lim_{x->a-} f(x) ≠ lim_{x->a+} f(x)인 경우를 말한다. 이때는 함수f(x)가 x=a에서 미분계수가 존재하지 않으므로 미분가능하지 않다.
즉, 함수의 연속성은 미분가능성의 필요조건이 된다. 함수가 x=a에서 연속이어야만 그 점에서 미분가능하게 된다.
1.2.3. 사이클로이드 곡선
사이클로이드 곡선은 원 모양 굴성쇠 위의 한 지점에 점을 찍은 뒤 굴렸을 때, 그 점이 그리는 곡선이다. 이 곡선 위에서 공을 굴리면 직선보다 더 빨리 굴러 떨어진다. 우리나라의 전통 가옥인 한옥의 기와에서도 사이클로이드 곡선을 볼 수 있는데, 이는 빗방울이 더 빨리 흘러내리게 하여 목재가 썩는 것을 막는 역할을 한다. 사이클로이드 곡선은 공학적으로도 중요한데, 롤러코스터나 스키장 등에서 공의 운동 경로로 사용되어 더 빠른 속도와 안정적인 주행을 가능하게 한다. 이처럼 사이클로이드 곡선은 건축, 기계, 운동 등 다양한 분야에서 활용되며, 미적분학의 대표적인 응용 사례라고 할 수 있다.
1.2.4. 지수함수
지수함수는 밑과 지수의 거듭제곱 꼴의 함수로, 1이 아닌 양수 a에 대하여 f(x)=ax 꼴로 나타나는 함수를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 한다.
지수함수는 자연과학과 공학 분야에서 널리 사용되는 ...
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