본문내용
1. 미분의 역사와 활용
1.1. 미분의 역사
1.1.1. 고대 그리스의 아르키메데스
고대 그리스의 아르키메데스는 미적분학의 선구자로 평가받는다. 그는 기하학적 계산을 통해 구와 원기둥의 부피를 구하는 등 다양한 계산 방식을 개발했다. 특히 아르키메데스는 무한소 개념을 활용하여 곡선 아래 면적을 계산하는 방법을 제시했는데, 이는 적분학의 기초가 되었다. 또한 그는 거리와 속도의 관계를 밝혀내었고, 면적을 구하는 문제와 접선을 구하는 문제가 역관계에 있다는 사실을 발견했다. 이처럼 아르키메데스는 고대 그리스에서 미적분학의 기초를 놓았으며, 후대 수학자들에게 큰 영향을 미쳤다.
1.1.2. 에반젤리스타 토리첼리와 무한소 개념
에반젤리스타 토리첼리는 무한소의 개념(무한히 작은 단위량)을 도입하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 정리하였다"
토리첼리는 무한소의 개념을 도입하여 포물선의 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 체계화하였다. 토리첼리는 거리와 속도의 관계를 밝혔고, 넓이를 구하는 문제가 접선을 구하는 문제와 역관계가 있다는 것을 밝혔다. 토리첼리의 이러한 연구는 미적분학의 발전에 중요한 기반을 마련하였다.
1.1.3. 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 발견
본격적인 미적분학은 17세기 후반 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)에 의해서 시작되었다. 뉴턴은 1661년 케임브리지 대학에 입학하였고, 1665년 페스트로 인해 대학교가 폐쇄되었는데, 이때부터 2년 동안 뉴턴은 연구에 몰두하여 유율법(미분학)과 역유율법(적분학)을 발견했으나 그는 비판을 매우 두려워하여, 이러한 연구 결과를 발표하지 않았다. 시간이 한참 지난 후, 1687년에 『프린키피아』를 출판하여 명성을 얻게 된다.
라이프니츠는 1646년 태어나 20세에 라이프치히 대학에서 박사학위를 취득하였다. 하지만 그는 대학교를 떠나 외교관이 되어 영국과 네덜란드를 여러 번 방문했고, 당시의 유명한 학자들과 접촉하여 수학적인 자극을 받을 수 있었다. 그는 1684년에 자신이 편집인으로 있던 잡지 『학술 기요』에 그의 결과들을 발표했다.
뉴턴과 라이프니츠 중에 누가 미적분학을 발견한 영예를 가져야 하는지에 관해서 많은 논란이 있었다. 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 『프린키피아』에 유율법을 발표하였다.
한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다. 라이프니츠는 1673년에 영국을 방문했을 때, 뉴턴의 연구 결과를 봤고 1676년에는 뉴턴과 미적분학에 관한 서신을 왕래한 기록이 있다.
두 사람은 미적분학을 독립적으로 발견했고, 접근 방법이 서로 다르다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 현재 받아들여지고 있는 방법은 라이프니츠의 기하학적인 접근 방식이고, 미분의 기호 ∂ 또한 라이프니츠가 개발한 것이다. 따라서 오늘날 미적분학을 발견한 공로는 뉴턴과 라이프니츠 두 사람 모두에게 주어지고 있다.
1.2. 미분의 활용
1.2.1. 화학반응 및 반응속도
화학반응이 일어날 때 반응물과 생성물의 농도는 시간에 따라 변화한다. 반응이 진행됨에 따라 반응물의 농도는 낮아지고 생성물의 농도는 높아진다. 이때 화학반응의 반응속도는 단위시간당 반응물질이나 생성물질의 농도 변화로 정의된다. 구체적으로 반응물질 A가 역반응이 일어나지 않고 생성물로 분해되는 단일물질 A의 분해반응에서 반응속도()는 A의 몰농도에 비례하므로 다음과 같이 표현된다.
= k[A]
여기서 k는 '반응속도상수'라고 하며, 이는 반응물질의 농도에 따른 반응속도의 비례 정도를 나타낸다. 물질의 농도가 높을수록 단위시간당 반응하는 입자수가 많아지므로 반응속도가 빨라진다. 또한 온도가 높을수록 분자의 운동속도가 빨라져 충돌 횟수가 증가하므로 반응속도도 빨라진다. 그 밖에 촉매의 존재 여부도 화학반응 속도에 영향을 미친다. 촉매는 자신은 소모되지 않고 반응 속도를 변화시키는 물질이다.
화학반응에서 물질의 농도와 반응속도의 관계를 정량적으로 나타내는 이러한 함수적 관계는 미분이론을 통해 수학적으로 다루어질 수 있다. 따라서 미분은 화학반...
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