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1. 미적분 심화탐구
1.1. 미적분 심화탐구 보고서
1.1.1. "GSA-SNP2"와 삼차 스플라인 보간법 탐구
2학년 때 탐구하였던 질병 유전자 통계알고리즘인 "GSA-SNP2"에 숨겨진 수학적 원리를 알아보기 위해 "삼차 스플라인 보간법"에 대해 조사하였다.
보간법이란 불연속적인 n개의 점이 주어졌을 때 그 n개의 점을 지나는 n차 다항식을 구하는 방법이다. 주어진 점들을 직선으로 다 잇는 선형 보간법이 있는데 이 선형 보간법은 미분 불가능한 점들도 많이 생긴다. 주어진 n개의 점을 지나면서 미분 가능한 함수를 구하는 방법이 삼차 스플라인 보간법이다. 스플라인 보간법의 특징은 어느 한 부분만 급격히 변하는 함수의 움직임에 우수한 근사를 제공한다. n차 스플라인 곡선의 0차에서 n-1차까지의 미분은 모든 점에서 연속이다. 3차 스플라인 곡선의 경우 끝점의 2차 미분이 0이 되게 함으로써 각 다항식의 모든 계수가 구해진다.
스플라인 보간법이 성립되기 위한 조건으로는 n개의 데이터점, (n-1)개 소구간, 각 소구간 i, 소구간별 스플라인 함수 si가 주어질 때 각 소구간에서 보간점이 정의될 수 있어야 하고 각 소구간에서 (n-1)차 연속 미분이 가능해야 한다.
"GSA-SNP2"는 허위양성을 잘 통제해 정확한 결과를 얻으면서도 통계적 예측력을 높이는 알고리즘 개발을 목표로 삼았다. 이를 위해 '유전자 그룹(pathway) 상관관계 분석법'을 활용하면서 유전자 스코어에 '큐빅 스플라인(삼차 스플라인)'이라는 수학적 보정기법을 적용했다.
연구진은 이미 질병과 상관관계가 높게 나타난 스닙(SNP)들은 제외하고 유전자 스코어를 삼차 스플라인 보정법을 통해 보정함으로써 기존의 대표적인 알고리즘 '마젠타(MAGENTA)'에 버금갈 정도로 허위양성예측을 통제하면서 통계적 예측력은 높였다.
삼차 스플라인 보간법에 대한 개념을 이해하기 위해 매트랩(MATLAB)에 내장된 interp1이라는 함수에 대해서도 알게 되었다.
1.1.2. 코로나 19 예상 확진자 그래프와 로지스틱 미분 방정식 탐구
코로나 19 예상 확진자 그래프는 로지스틱 함수의 형태를 취하고 있다. 로지스틱 함수는 개체군의 증가율을 표현하는 미분방정식으로부터 얻어지는 함수의 형태이다. 이 미분방정식은 {dy} over {dt} =ry(1- {y} over {L} )의 형태를 가지며, 여기서 r과 L은 상수이고 각각 자연성장률, 수용용량을 의미한다.
미분방정식 {dy} over {dt} =ry(1- {y} over {L} )을 정리하면 LRARROW ` {L} over {y(L-y)} {dy} over {dt} =r, LRARROW `( {1} over {y} + {1} over {L-y} ) {dy} over {dt} =r`의 형태로 나타낼 수 있다. 이를 t에 대해 적분하면 y= {L} over {Ce ^{-rt} +1}의 해를 얻을 수 있다. 이는 코로나 19 확진자 수를 시간에 따라 예측할 수 있는 로지스틱 함수 모델이 된다.
이러한 로지스틱 미분방정식의 해법은 고등학교 수준에서도 이해할 수 있다. 하지만 실제 코로나 19 확진자 수를 정확히 예측하기 위해서는 일일 확진자 수 데이터를 바탕으로 상수 r과 L을 적절히 추정해야 한다. 이때 통계적 기법과 수치해석 기법이 필요하다.
최근에는 코로나 19와 같은 감염병 확산 모델링에 머신러닝 기법이 도입되고 있다. 로지스틱 모델의 한계를 보완하기 위해 다양한 변수를 고려한 복합 모델들이 개발되고 있다. 이를 통해 보다 정확한 감염병 확산 예측이 가능해지고 있다.
1.2. 미분과 적분 세특 작성 예시
미분과 적분 세특 작성 예시는 총 14개의 예문으로 이루어져 있다. 각각의 예문은 미분과 적분에 대한 학생들의 이해도와 적용 능력을 잘 보여주고 있다.
첫 번째 예문은 자유 주제발표 시간에 "도형의 무한급수와 구분구적법 사이의 구조적 동질성"이라는 주제로 발표한 학생의 사례이다. 이 학생은 고등 교과과정 내에서 드러나는 무한급수와 닮음 사이의 관계를 정리하고, 구분구적법과 무한급수 사이의 동질성을 탐구하여 발표한 것으로 보인다. 또한 함수의 증가 및 감소에 대한 개념을 설명하고 문제를 풀이하는 모습이 돋보였다. 이를 통해 이 학생이 수학에 대한 깊이 있는 이해와 탐구심을 가지고 있음을 알 수 있다."
두 번째 예문은 미분과 적분의 역사를 조사하여 뉴턴과 라이프니츠의 역할, 적분이 역사적으로 미분보다 먼저 나왔다는 사실 등을 발표한 학생의 사례이다. 이 학생은 단순히 정적분이 어떤 함수를 부정적분하여 원시함수를 구하는 것에 그치지 않고, 스스로 관심 있는 부분을 조사하여 친구들에게 발표하는 등 수업 활동에 주도적으로 참여하는 모습을 보였다. 이를 통해 이 학생의 수학에 대한 열정과 호기심, 그리고 자기 주도적 학습 능력이 돋보인다고 할 수 있다."
세 번째 예문은 미적분의 역사를 조사하는 과정에서 적분이 미분보다 먼저 발견되었고, 라이프니츠와 뉴턴이 중요한 역할을 했다는 사실을 파악한 학생의 사례이다. 또한 이 학생은 미분이 움직이는 대상에 대한 분석을, 적분이 움직이지 않는 대상에 대한 분석을 주로 한다는 점을 이해하고 이를 적극적으로 조사하는 모습을 보였다. 이를 통해 이 학생의 미적분에 대한 이해도와 지적 호기심이 높음을 알 수 있다."
네 번째 예문은 주어진 문제를 한 번에 해...
