소개글
"세상을 바꾸는 아름다운 수학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
1.1.2. 베이즈 정리의 정의와 응용
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
1.2.2. 베이지안 추론의 과정
1.2.3. 베이지안 추론의 응용 사례
2. 수학의 아름다움
2.1. 방정식, 도형, 함수의 아름다움
2.2. 추상, 같음, 표현 방식의 수학적 가치
2.3. 위대한 수학자들의 업적과 정신
3. 수학 교육에 대한 성찰
3.1. 우리나라 수학 교육의 현주소
3.2. 수학 교육의 본질에 대한 고찰
4. 수학자 오일러의 업적
4.1. 오일러의 생애
4.2. 오일러의 수학적 업적
4.2.1. 한붓그리기 문제와 오일러의 정리
4.2.2. 수학적 표현의 확립
4.2.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
4.2.4. 오일러의 공식
5. 참고 문헌
본문내용
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
일반적인 사회현상을 살펴보면 많은 변수들이 존재한다. 과학실험과 같이 여러 변수들을 통제하고 조사 및 분석을 할 수 없고, 두 가지 이상의 사건에 대해서 하나의 조건이 발생했다는 전제 하에 다른 조건이 발생하는 경우가 많다. 즉 실험에 관련된 두 사건 A,B에 있어서 일반적으로 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라진다. 표본공간 S의 부분집합 사건 A,B에 대하여, 사건 A가 발생한 후에 B가 발생한 경우의 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다. P(A|B) = {P(B|A) P(A)} / {P(B)} (P(B)>0)
이를 조건부확률이라고 한다. 즉, 사건 A가 발생했다는 조건 하에서 사건 B가 발생할 확률을 나타낸 것이다. 조건부확률의 개념에서 특정 사건의 확률은 그 사건과 연관된 새로운 정보가 입수되면 개선하거나 수정할 수 있다. 이처럼 조건부확률은 사건에 대한 사전 지식이나 정보를 활용하여 해당 사건의 확률을 추정하는 데 중요한 역할을 한다.
1.1.2. 베이즈 정리의 정의와 응용
베이즈 정리의 정의와 응용은 다음과 같다.
베이즈 정리는 베이즈 토마스 베이즈가 제안한 통계학의 기본 정리로, 기존에 알고 있던 사전 확률(prior probability)과 새로운 증거에 따라 갱신된 사후 확률(posterior probability)의 관계를 설명한다. 베이즈 정리는 다음과 같이 정의된다:
P(A|B) = {COLOR {0,0,0} {P(B|A) P(A)} } over {COLOR {0,0,0} {P(B)}}
여기서 P(A|B)는 사건 B가 일어났을 때 A가 일어날 조건부 확률이며, P(B|A)는 사건 A가 일어났을 때 B가 일어날 조건부 확률, P(A)는 A의 사전 확률, P(B)는 B의 확률을 의미한다.
베이즈 정리는 다양한 분야에서 활용되며, 대표적인 응용 사례로는 스팸 필터링, 질병 진단, 영화 추천 등이 있다. 예를 들어 질병 진단의 경우, 환자의 증상(B)이 관찰되었을 때 특정 질병(A)일 확률 P(A|B)를 계산할 수 있다. 이때 P(B|A)는 그 질병이 있을 때 증상이 나타날 확률, P(A)는 그 질병의 사전 확률, P(B)는 증상이 나타날 확률이다. 계산된 P(A|B)를 통해 의사는 환자가 그 질병에 걸렸을 확률을 추정하고 진단 및 치료에 활용할 수 있다.
이처럼 베이즈 정리는 새로운 정보와 기존 지식을 결합하여 특정 사건의 확률을 갱신할 수 있는 강력한 도구이다. 이는 불확실한 상황에서 의사결정을 내리는데 도움을 줄 수 있다.
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
베이지안 추론의 개념은 과거의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론하는 방법이다"" 베이지안 추론은 사전확률(prior probability), 가능도(likelihood), 사후확률(posterior probability)의 개념을 활용하여 불확실성이 존재하는 상황에서 의사결정을 내리는 데 활용된다"" 구체적으로, 사전확률은 새로운 정보가 주어지기 전 해당 사건이 발생할 것이라고 믿는 정도를 나타낸다"" 가능도는 새로운 정보가 관찰되었을 때 해당 사건이 발생했을 확률이다"" 사후확률은 새로운 정보를 토대로 갱신된 해당 사건 발생 확률이다"" 베이지안 추론은 이러한 세 가지 확률을 관계식을 통해 연결하여 불확실한 상황에서 의사결정을 내리는 데 활용된다""
1.2.2. 베이지안 추론의 과정
베이지안 추론의 과정은 다음과 같다"
베이지안 추론에서는 사전확률, 가능도, 데이터를 바탕으로 사후확률을 추론한다. 먼저 추론할 대상인 가설(H)과 그에 대한 사전확률(P(H))을 설정한다. 그리고 관측된 데이터(E)와 가설 H가 참일 때 데이터 E가 관측될 확률인 가능도(P(E|H))를 구한다. 이를 토대로 베이즈 정리를 활용하여 사후확률(P(H|E))을 계산한다.
P(H|E) = {P(E|H) * P(H)} / P(E)
이렇게 계산된 사후확률은 새로운 정보가 추가되어 기존의 믿음이 수정된 것을 의미한다. 이러한 과정을 통해 가설에 대한 신뢰도를 점진적으로 높여나갈 수 있다.
예를 들어, 동전을 10번 던져서 3번 앞면이 나왔다고 가정하자....
참고 자료
토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
조연우. "조건부확률과 응용에 관한 연구." 국내석사학위논문 단국대학교, 2005. 서울
베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
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맹기완, 야밤의 공대생 만화, 뿌리와 이파리, 2017
E. T bell, 김종철 역, 고독한 천재들, 지앤지, 2006
김화영, 교과서를 만든 수학자들, 글담, 2005
와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
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