소개글
"진자에 의한 중력가속도 측정"에 대한 내용입니다.
목차
1. 실험 개요
1.1. 실험 목적
1.2. 실험 방법
2. 단진자의 운동 원리
2.1. 단진자의 운동 방정식
2.2. 단진자의 주기와 중력가속도
2.3. 역학적 에너지 보존
3. 실험 결과
3.1. 실험 1
3.2. 실험 2
3.3. 실험 3
4. 실험 결과 분석
4.1. 중력가속도 계산
4.2. 역학적 에너지 보존 확인
5. 오차 분석
5.1. 공기 저항
5.2. 진폭의 영향
5.3. 실험 방법 및 계산의 오차
6. 결론
7. 참고 문헌
본문내용
1. 실험 개요
1.1. 실험 목적
Borda 진자의 주기와 길이를 측정하여 그 지점의 중력가속도 g를 구하는 것이 실험의 목적이다. 단진자의 운동 원리에 따르면 단진자는 질량이 무시되는 길이 l인 끈에 질량 m인 추가 추 중심에서 진자 끝까지의 거리가 L이 되도록 매달려 주기 운동하는 것이다. 이때 m인 추가 되돌아가려는 힘인 복원력이 존재하며, 이 복원력은 F=-mg`sin θ =m {d^2 S} over {dt^2}로 주어진다. 따라서 단진자의 주기 T는 T= 2π sqrt {L over g}의 관계를 가지므로, Borda 진자의 주기와 길이를 측정하면 중력가속도 g를 구할 수 있다.
1.2. 실험 방법
실험 방법은 다음과 같다.
첫째, 그림 10.1과 같이 실로 추를 매단다. 둘째, 추를 작은 진폭( theta =3 DEG 이하)으로 진동시킨다. 셋째, 진동의 시작점을 정하고 20번 진동할 때마다 시간을 측정하여 진동 주기 T를 구한다. 넷째, 진자의 길이 l과 추의 반경 r을 5회 측정하여 평균값을 구한다. 다섯째, 무거운 추와 가벼운 추로 각각 다른 길이의 실에 대하여 반복 실험한다. 여섯째, l과 r의 평균값을 식 g= {4 pi ^{2} L} over {T ^{2}}과 g= {4 pi ^{2}} over {m(l+r)T ^{2}} BULLET ( {2} over {5} mr ^{2} +m(l+r) ^{2} )# ```=` {4 pi ^{2}} over {T ^{2}} ( {2} over {5} {r ^{2}} over {(l+r)} +(l+r))에 대입하여 중력가속도 g를 계산한다.
2. 단진자의 운동 원리
2.1. 단진자의 운동 방정식
단진자의 운동 방정식은 다음과 같다.
단진자에 작용하는 힘은 중력에 의한 복원력이다. 단진자의 질량을 m, 실의 길이를 l, 중력가속도를 g, 진자가 수직선과 이루는 각도를 θ라고 할 때, 단진자에 작용하는 복원력은 F=-mg sin θ이다. 이는 뉴턴 운동 제2법칙에 의해 F=ma로 표현될 수 있으므로, 단진자의 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
m{d^2 s/dt^2} = -mg sin θ
여기서 s는 진자의 변위를 나타낸다. 이 식은 비선형 미분 방정식이지만, 진동 진폭이 작은 경우(θ ≪ 1)에는 sin θ ≈ θ로 근사할 수 있다. 따라서 근사화된 단진자의 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
m{d^2 s/dt^2} = -mg θ
이 식은 단순 조화 운동을 나타내는 미분 방정식의 형태를 가지며, 이에 대한 일반해는 다음과 같다.
s = A cos(ωt + δ)
여기서 A는 진폭, ω는 각속도, δ는 초기 위상이다. 각속도 ω는 ω = √(g/l)로 주어지며, 이를 이용하면 단진자의 주기 T는 다음과 같이 표현된다.
T = 2π/ω = 2π √(l/g)
이처럼 단진자의 운동 방정식은 진폭이 작은 경우 선형화된 미분 방정식으로 표현될 수 있으며, 이를 통해 단진자의 주기와 주기-길이 관계식을 도출할 수 있다.
2.2. 단진자의 주기와 중력가속도
단진자의 주기와 중력가속도는 밀접한 관계가 있다. 단진자의 운동은 단순 조화 운동을 따르며, 주기는 중력가속도 값과 진자의 길이에 의해 결정된다.
단진자의 운동 방정식은 F=-mg`sin theta =m {d ^{2} S} over {dt ^{2}}로 표현된다. 여기서 S는 진자의 변위, L은 진자의 길이, g는 중력가속도이다. 진폭이 작은 경우 sin theta ≈ theta 로 근사할 수 있으므로, 운동방정식은 {d ^{2} S} over {dt ^{2}} =- {g} over {L} S로 표현된다. 이는 단순 조화 운동 방정식의 형태를 가지며, 각 진동수 omega 는 omega = sqrt {{g} over {L}}로 정의된다.
따라서 단진자의 주기 T는 ...
참고 자료
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일반물리학실험, 강원대학교 물리실험교재편찬회, 청문각, 2009, pp. 2-35～2-40
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