본문내용
1. Fourier Series와 Fourier Coefficient
1.1. Fourier Series
Fourier Series는 복잡한 주기적 파형을 기본 주파수와 그 고조파의 합으로 나타내는 방법이다. 어떤 복잡한 주기적 파형이라도 정현파들의 무한합으로 나타낼 수 있다는 것이 Fourier Series의 핵심 개념이다.
주기적 연속시간신호 x(t)는 다음과 같이 표현할 수 있다:
x(t) = a_0 + sum_{k=1}^{\infty} (a_k cos(k\omega_0 t) + b_k sin(k\omega_0 t))
여기서 a_0, a_k, b_k 는 Fourier Coefficient라고 하며, ω_0는 기본 주파수이다. 이 Fourier Coefficient들은 신호 x(t)의 한 주기 동안의 값을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다:
a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) dt
a_k = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x(t) cos(k\omega_0 t) dt
b_k = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x(t) sin(k\omega_0 t) dt
T는 신호의 주기이다.
마찬가지로 주기적 이산시간신호 x[n]에 대해서도 Fourier Series로 표현할 수 있다:
x[n] = a_0 + sum_{k=1}^{\infty} (a_k cos(k\omega_0 n) + b_k sin(k\omega_0 n))
여기서 a_0, a_k, b_k 는 이산시간 신호의 Fourier Coefficient이며, ω_0 = 2π/N이고 N은 주기이다. 이산시간 신호의 Fourier Coefficient는 다음과 같이 계산할 수 있다:
a_0 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]
a_k = \frac{2}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] cos(k\omega_0 n)
b_k = \frac{2}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] sin(k\omega_0 n)
Fourier Series를 통해 복잡한 신호를 기본 주파수와 고조파의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 통해 신호의 주파수 특성을 분석할 수 있다는 점에서 매우 중요한 개념이라고 할 수 있다.
1.2. Fourier Coefficient
Fourier Coefficient는 복소지수함수의 k번째 주파수 Component의 계수이다. Fourier Coefficient는 내가 표현하고자 하는 신호와 k번째 component가 얼마나 닮아있는지, 신호에 얼마나 기여하는지를 나타낸다. 즉, Fourier Coefficient는 각 주파수 성분의 기여도 또는 가중치를 의미한다.
Periodic Continuous-time Signal의 경우 Fourier Coefficient는 다음과 같이 표현된다:
ak = (1/T) ∫(0 to T) x(t)e^(...
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