본문내용
1. 서론
수학 탐구 보고서를 작성하게 된 계기는 수학 수업 중 함수와 역함수의 교점에 대한 문제를 풀면서 의문이 들었기 때문이다. 함수와 역함수의 교점이 항상 직선 y=x 위에 있는 것은 아니라는 사실을 이해하고 싶었고, 이를 탐구하여 증가함수 뿐만 아니라 증가하지 않는 함수의 경우에도 교점의 특성을 규명하고자 한다. 이를 통해 함수와 역함수의 관계에 대한 깊이 있는 이해를 얻고자 한다.
2. 수학탐구보고서 주제 선정 및 탐구 계획
2.1. 탐구 주제와 관련 수학 단원
다음은 사용자가 지시한 지침에 따라 작성한 보고서 내용입니다.
함수와 그 역함수의 교점에 대한 탐구는 주로 V.함수 단원에서 다루는 내용이다. 이 주제를 선정한 계기는 무리함수와 그 역함수의 교점에 대한 문제를 풀면서, 교점이 y=x 선 위의 점이 아닌 (1,2)로 언급된 점에 대해 의문이 들었기 때문이다. 수업 중 함수와 그 역함수의 교점이 항상 직선 y=x 위에 놓이는 것은 아니라는 사실이 잠깐 언급되었지만, 그 이유와 예외 사례에 대해 자세히 이해하고자 한다.
역함수를 간단히 말하자면 'y가 x의 함수일 때, 역으로 x를 y의 함수로 본 것'이라고 할 수 있다. 정확히, x의 함수 y=f(x)가 있을 때, 그 치역에 속하는 y의 각 값에 대하여 y=f(x)인 관계에 있는 x를 대응시킴으로써, x를 y의 함수로 간주할 수가 있다. 함수 y=f(x)에서 f(x)가 x의 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 정의한다. 증가함수는 x가 증가할 때 f(x)도 증가하는 함수를 말한다.
증가함수 f(x)와 그 역함수 f^-1(x)의 교점은 모두 직선 y=x 위에 존재한다. 이를 증명하기 위해 a=f^-1(b)라고 가정해 보자. 그러면 a와 b가 두 점이 되며, f(a)=b, f^-1(b)=a 가 성립한다. 만약 a≠b라고 가정하면 모순이 발생한다. 따라서 a=b가 성립하여 증가함수의 역함수 교점은 항상 직선 y=x 위에 존재한다.
그러나 증가하지 않는 함수의 경우, 역함수와의 모든 교점이 y=x 위에 있지 않을 수 있다. 예를 들어 y=√(ax+b) 함수와 그 역함수 x=√(ay+b)의 교점은 직선 y-x=0 또는 y+x+a=0 위에 있다. 따라서 증가하지 않는 무리함수의 역함수와의 교점은 항상 직선 y=x 위에 있다고 할 수 없다.
이처럼 증가함수의 경우 역함수와의 모든 교점이 y=x 선 위에 있지만, 증가하지 않는 함수의 경우에는 그렇지 않다는 점을 알 수 있었다. 또한 y=1/x와 같이 함수와 역함수가 동일한 경우에는 무수히 많은 교점을 가지게 된다. 유한집합에서 정의된 함수의 경우에도 역함수와의 교점이 y=x 위에 존재하지 않을 수 있다.
이 탐구를 통해 교과서나 문제집에서는 함수와 역함수의 교점이 항상 y=x 위에 있다고 가정하는 경우가 많지만, 실제로는 그렇지 않은 경우가 많다는 점을 알게 되었다. 또한 증가함수가 아닌 경우, 역함수와의 교점 개수와 위치 등 다양한 변화 양상을 이해할 수 있었다.
향후 절댓값 함수나 감소함수 등 다른 유형의 함수와 역함수의 교점에 대한 추가 탐구를 계획하고 있다. 이를 통해 함수와 역함수의 관계에 대한 이해를 더욱 깊이 있게 하고자 한다.
2.2. 주제 선정 계기
수업 시간에 무리함...
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