1.2. 시그모이드 함수의 활용 분야
시그모이드 함수는 생명과학 분야에서 다양하게 활용되는데, 특히 개체군의 생장곡선, 효소 반응 속도, 전염병 예측 모델 등에 널리 사용된다. 개체군 생장곡선의 경우, 이론적 생장 곡선은 계속해서 증가하는 J자형이지만, 실제 생장 곡선은 환경 저항 요인으로 인해 시간이 지남에 따라 S자형의 로지스틱 곡선을 나타낸다. 이는 시그모이드 함수로 잘 설명될 수 있다. 또한 효소의 기질 농도-반응 속도 그래프에서도 시그모이드 곡선이 관찰되는데, 이는 효소가 기질과 모두 결합했을 때의 반응 속도에 수렴하는 양상을 보인다.
전염병의 전파 양상 또한 시그모이드 함수로 모델링할 수 있다. 초기에는 감염자 수가 더디게 증가하다가 특정 시점 이후 급격히 증가하는 양상을 보이는데, 이는 감염자(I), 미감염자(S), 회복자(R) 등 요인들을 종합적으로 고려한 SIR, SEIR, SIS 등의 미분방정식 모델로 설명할 수 있다. 특히 코로나19 감염자 수 그래프의 경우, 시그모이드 함수의 그래프와 유사한 특성을 보인다.
이처럼 시그모이드 함수는 생명현상을 잘 설명할 수 있는 수학적 모델로, 실생활 적용에도 큰 가치를 지닌다. 예를 들어 약물의 농도와 반응 간의 관계 모델링, 질병의 진단 및 치료 예측, 유전자 발현 패턴 분석, 세포 성장 및 분열 예측 등에 활용될 수 있다. 특히 시그모이드 함수의 미분과 적분 개념은 이러한 생명 현상 분석에 중요한 토대를 제공한다. 따라서 시그모이드 함수는 생명과학 연구의 핵심 도구로 자리매김하고 있으며, 향후 더 다양한 분야에서의 활용이 기대된다.
1.3. 연구의 목적 및 필요성
우선 나의 진로희망은 생물학 분야에서 생명현상의 모델링과 예측, 성장 패턴의 분석 등을 할 수 있는 역량을 갖춘 사람이 되는 것이다. 미적분 수업시간에 초월함수의 미분법을 배우면서 그래프의 모양이 바뀌는 지점인 '변곡점'에 대해 알게 되었고, 이를 통해 생명과학1과 생명과학2 시간에 배웠던 개체군의 생장곡선 그래프와 효소의 반응 속도 그래프 모양을 이해할 수 있게 되었다. 따라서 시그모이드 함수와 관련된 미적분의 여러 개념을 연계하여 생명현상을 분석하고 예측할 수 있는 방안을 모색하고자 한다. 특히 전염병 예측 모델, 약물 농도와 반응 모델링, 질병 진단 및 치료, 세포 성장 예측 등 시그모이드 함수의 실생활 적용 방안을 체계적으로 탐구하고자 한다. 이를 통해 수학과 생명과학의 융합적 이해를 도모하고 관련 분야의 전문가로 성장하는 데 기여할 수 있을 것이다.
2. 시그모이드 함수와 생명현상 관련성
2.1. 개체군 생장곡선에 대한 이해
개체군의 생장 과정은 이론적인 생장곡선과 실제 생장곡선으로 구분되며, 이론적인 생장곡선은 계속해서 증가하는 J자형인 반면 실제 생장 곡선은 시간이 지남에 따라 환경수용력에 수렴하는 S자형 그래프를 나타낸다. 이러한 실제 생장 곡선의 S자형 모양을 잘 설명할 수 있는 개념이 바로 '로지스틱 방정식(logistic equation)'이다.
로지스틱 방정식은 생태학에서 개체군 성장의 단순한 모델로 고안된 미분 방정식으로, 개체 수가 0에서 시작하여 점차 증가하다가 특정 환경수용력에 도달하면 더 이상 증가하지 않는 양상을 잘 설명한다. 이 방정식의 전제조건은 첫째, 개체 수 0에서 증가율은 0이며, 둘째, 개체 수가 증가함에 따라 증가율 또한 증가하다가 어느 일정 순간 이후부터는 감소하고, 셋째, 환경의 수용가능 한계 개체 수와 개체 수가 같을 때 증가율은 0이 된다는 것이다. 이러한 로지스틱 생장곡선은 시간에...
