본문내용
1. 기하 탐구
1.1. 쌍곡선 함수(Hyperbolic function)의 기하학적 의미
쌍곡선 함수는 sinht, cosht, tanht, cscht, secht, cotht 총 6가지 삼각함수에 대응되는 함수이다. 예를 들어 sinht={(e^t-e^(-t)})/2, cosht={(e^t+e^(-t))/2와 같이 정의된다. 2차원 평면상에서 매개변수 t로 표현된 좌표(cost,sint)가 단위원 x^2+y^2=1을 나타내는 것처럼, 매개변수 t로 표현된 좌표(cosht,sinht)는 단위 쌍곡선 x^2-y^2=1을 나타낸다.
단위 쌍곡선 위의 점 P(cosht,sinht)이 가지는 의미는 그 점과 원점을 이은 선분과 쌍곡선이 이루는 제1사분면 위 넓이가 (1/2)t라는 것이다. 직관적으로 역도 성립한다.
일반적인 쌍곡선 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1에서 P(a`cosht,b`sinht)와 원점 O를 이은 선분과 쌍곡선이 제1사분면 위에서 이루는 면적이 (1/2)abt라는 의미를 가진다. 이는 일대일대응 함수이므로 그 역도 성립한다.
{x^2/a^2}+{y^2/b^2}={z^2/c^2}+1 꼴로 나타내어지는 hyperboloid of one sheet에서 두 평면 z=0과 z=c`sinht으로 나누어지는 부분의 부피는 π abc(sinht+(1/3)`sinh^3t)이 된다. 즉, 잘랐을 때의 부피가 이렇게 나타나므로 z=c`sinht로 잘랐다는 의미가 된다.
{x^2/a^2}+{y^2/b^2}={z^2/c^2}-1 꼴로 나타내어지는 hyperboloid of two sheets에서 평면 z=c`cosht으로 나누어지는 부분의 부피는 (π abc/3)(cosh^3t+2-3cosht)이며, z=c`cosht과 원점 O를 잇는 선분을 z축 둘레로 회전시켰을 때 hyperboloid of two sheets와 이루는 부분의 부피는 (4/3)π abc`sinh(t/2)가 된다. 즉, 어떤 평면으로 잘랐을 때 hyperboloid of two sheets의 부피가 이렇게 나타나므로 그 평면의 방정식은 z=c`cosht라는 관계가 성립한다.
단위원 x^2+y^2=1과 단위쌍곡선 x^2-y^2=1, 원점을 지나고 두 곡선과 교점이 있는 직선 y=tan(θ)x의 관계를 살펴본 결과, 단위 쌍곡선 위의 점 Q(cosht,sinht)가 제1사분면 위에서 가지는 의미는 그 점과 원점을 이은 선분과 쌍곡선이 이루는 넓이가 (1/2)t라는 것이다. 이는 앞서 설명한 바와 같이 성립한다.
1.2. 일반적인 쌍곡선에서 P(a`cosht,`b`sinht)의 의미
{x^2/a^2} - {y^2/b^2} = 1 꼴로 나타내어지는 일반적인 쌍곡선에서 매개변수 t로 표현된 좌표 P(a`cosht,`b`sinht)는 중요한 기하학적 의미를 가진다.
P(a`cosht,b`sinht)와 원점 O를 이은 선분이 쌍곡선과 이루는 제1사분면 위의 넓이를 A(t)라고 하면, A(t)는 {1/2} a`cosht`b`sinht - ∫_a^{a`cosht} {b/a} √{x^2-a^2} dx 로 나타낼 수 있다.
이를 x에 대해 미분하면 {d(A(t))/dt} = {1/2} ab(cosh^2 t - sinh^2 t) = {1/2} ab 가 되어, A(t) = {1/2} ab`t + c (c: constant)의 형태로 표현된다. 따라서 P(a`cosht,b`sinht)와 원점 O를 연결한 선분과 쌍곡선이 제1사분면 위에서 이루는 면적은 {1/2} ab`t가 된다.
즉, 매개변수 t로 표현된 점 P(a`cosht,b`sinht)는 그 점과 원점을 연결한 선분이 쌍곡선과 이루는 제1사분면 위의 면적이 {1/2} ab`t라는 기하학적 의미를 가진다. 이는 일대일 대응 함수이므로 그 역도 성립한다.
1.3. hyperboloid of one sheet에서의 부피
{z=0}와 {z=c`sinht} 사이에 위치한 hyperboloid of one sheet의 부피를 V(t)라고 하자. 단면의 넓이를 S(z*)라 할 때, {x^2}/{a^2} + {y^2}/{b^2} =1+({z*}/c)^2 은 타원을 나타낸다. 따라서 S(z*)={pi ab}/(c^2)(c^2 +z*^2)이다. V(t)=∫^{c`sinht}_0 S(z*)dz*로 나타낼 수 있으므로, V(t)={pi ab}/{c^2}(c^2(c`sinht)+(1/3)c^3`sinh^3t)를 얻을 수 있다. 이는 z=c`sinht으로 자를 때의 부피가 {pi abc}(s...
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