본문내용
1. 수학과 의학기기
1.1. 수학과 의학기기의 관계
1.1.1. MRI에서 사용되는 수학
MRI에서 사용되는 수학은 우리 몸 속 H2O 중 수소원자의 반응을 이용하는 것으로 파동을 가진 전자기파를 쐬면 우리 몸 안의 수소원자가 핵자기공명 현상을 일으켜 파동이 있는 전자기파를 방출한다. 이때 인체에 발사되는 전자기파의 파동을 제어하고 인체에서 반응되어 나오는 전자기파의 파동을 측정하여 영상으로 전환하는 데 있어 삼각함수를 탑재한 컴퓨터프로그램이 결정적 역할을 한다. 다양한 의료기기의 컴퓨터프로그램에는 대부분 삼각함수가 탑재되어 있으며, 수학이 의학 분야에 아주 큰 기여를 하고 있다고 볼 수 있다.
1.1.2. 뇌파 측정에서 사용되는 수학
뇌파 측정에서 사용되는 수학"이다.
우리가 생각하거나 활동할 때 뇌신경들 사이의 신호 전달에 따라 '뇌파'라는 파동이 생긴다. 이런 뇌파를 측정할 때 삼각함수가 이용된다. 그런데 뇌파만 측정하려 해도 관찰결과 속에는 환자의 호흡, 심장 박동 등에 따른 다른 파동들도 복잡하게 섞여 있다. 이때 푸리에 변환을 활용하여 순수한 뇌파만을 얻어낸다고 한다"이다.
푸리에 변환(Fourier transform)은 시간에 대한 함수(혹은 신호)를 함수를 구성하고 있는 주파수 성분으로 분해하는 작업으로, 시간의 함수가 푸리에 변환이 되면 주파수의 복소함수가 된다. 이를 통해 불규칙한 뇌파도 삼각함수로 나타낼 수 있게 된 것이다. 즉, 삼각함수만으로는 표현하기 어려운 복잡한 파동들도 푸리에 변환을 통해 삼각함수의 조합으로 나타낼 수 있다는 것이다.
이처럼 뇌파 측정에서는 삼각함수와 푸리에 변환이 핵심적인 수학적 원리로 활용된다. 삼각함수가 일정한 주기를 가진 파동을 표현하는 데 용이하다면, 푸리에 변환은 이러한 삼각함수들의 조합을 통해 복잡한 비주기적 파동도 표현할 수 있게 해준다. 이를 통해 뇌파의 복잡한 양상을 효과적으로 측정할 수 있게 되었다"이다.
1.1.3. CT촬영에서 사용되는 수학
CT (computed tomography) 검사에서는 모두 x-선을 발사하여 인체에 투과되어 나오는 파동을 관찰하는데, 이때 적절한 크기의 파동을 가진 x-선을 발생시키고 또한 투과된 전자기파를 측정하는데 삼각함수가 이용된다."이다.CT 촬영 과정에서 삼각함수가 중요한 역할을 담당한다. 먼저 CT 촬영에서는 인체에 x-선을 발사하여 투과되어 나오는 파동을 관찰하게 된다. 이때 적절한 크기와 특성을 가진 x-선을 발생시키는데 이 과정에서 삼각함수가 사용된다. 또한 인체를 투과한 x-선 파동을 정확하게 측정하는 데에도 삼각함수가 활용된다.
x-선은 전자기파의 일종이며, 특정한 주파수와 파장을 가지고 있다. 이러한 x-선의 특성을 제어하고 발생시키는 데 삼각함수가 중요한 역할을 한다. 삼각함수를 통해 x-선의 주파수, 파장, 진폭 등의 특성을 정밀하게 제어할 수 있기 때문이다.
또한 투과된 x-선 파동을 측정할 때에도 삼각함수가 활용된다. x-선이 인체를 통과하면서 파동의 간섭, 회절, 산란 등이 일어나고 이로 인해 복잡한 패턴의 파동이 관측된다. 이러한 복잡한 파동 패턴을 분석하고 정량화하는 데 삼각함수 기반의 푸리에 변환 등이 활용된다. 푸리에 변환을 통해 복잡한 파동을 주파수 성분으로 분해하고 각 성분의 진폭과 위상을 분석함으로써 CT 영상 재구성에 활용할 수 있다.
따라서 CT 촬영에서 삼각함수는 x-선 발생과 측정 과정에서 핵심적인 역할을 하며, 이를 통해 정확한 CT 영상을 얻을 수 있다고 할 수 있다.
1.2. 수학과 의학기기 활용의 이해
1.2.1. 푸리에 변환의 이해
푸리에 변환(Fourier transform)은 시간에 대한 함수(혹은 신호)를 함수를 구성하고 있는 주파수 성분으로 분해하는 작업이다. 푸리에 변환은 원래 함수의 주파수 영역 표현(frequency domain representation)이라고도 한다. 푸리에 변환이라는 용어는 주파수 영역의 함수뿐만 아니라 주파수 영역의 함수와 시간 영역의 함수를 잇는 수학적 연산(혹은 공식) 모두를 의미한다. 푸리에 변환은 시간의 함수에 제한되어있지 않지만, 용어의 통일을 위해 원래 함수의 영역을 보통 시간 영역의 함수로써 취급한다.
이때 푸리에 변환의 역함수가 정의될 수 있는데, 이를 주파수 영역 함수의 푸리에 역변환 또는 푸리에 합성이라 한다. 이는 원래 함수를 복원하기 위해서 모든 구성주파수 성분을 조합하는 변환이다. 시간이나 주파수 영역에서 수행되는 선형 연산들은 서로 영역에서 상응하는 연산들이 있어, 그것들이 연산을 더 쉽게 만들어 주기도 한다. 시간의 영역에서의 미분연산은 주파수 영역에서 곱셈과 같아서, 미분방정식은 주파수 영역에서 더 쉽게 분석되어 지기도 한다. 또한, 시간 영역에서의 합성곱(convolution)은 주파수 영역에서 평범한 곱셈과 같다. 이것은 확실하게 신호에 필터를 적용하는 것과 같은 모든 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)은 주파수 영역에서 비교적 쉽게 표현될 수 있다는 것을 뜻한다.
이처럼 푸리에 변환은 시간 영역의 함수를 주파수 영역의 함수로 변환하여 분석할 수 있게 해준다. 이를 통해 복잡한 파동도 여러 개의 단순한 파동으로 분리하여 주기함수로 나타낼 수 있게 된다. 특히 뇌파 측정이나 CT 촬영과 같은 의학 분야에서 푸리에 변환은 중요한 역할을 한다. 뇌파를 측정할 때 환자의 호흡이나 심장 박동 등의 다른 생리적 신호가 복잡하게 섞여 있는데, 푸리에 변환을 활용하면 순수한 뇌파 신호만을 추출할 수 있다. 또한 CT 촬영에서도 적절한 크기의 X-선을 발생시키고 투과된 전자기파를 측정하는 데 푸리에 변환이 활용된다.
이처럼 푸리에 변환은 자연계의 다양한 불규칙한 파동 현상을 주기함수로 나타낼 수 있게 해줌으로써, 의학 분야를 비롯한 많은 분야에서 중요한 역할을 한다. 이를 통해 우리는 복잡한 자연 현상을 보다 쉽게 이해하고 분석할 수 있게 되었다.
1.2.2. 삼각함수와 푸리에 변환의 관계
삼각함수와 푸리에 변환의 관계는 밀접하다. 삼각함수인 사인 곡선과 코사인 곡선은 주기를 가지고 반복되는 성질이 있어 파동을 표현하는 데 유용하다. 그러나 자연계의 불규칙한 파동들은 단순한 삼각함수로 표...
