[공업수학]라플라스 변환의 성질 및 모든 공식 정리

소개

라플라스 변환입니다
변환및 역변환 모두 소개하고 있으며
성질 ,정의를 모두 정리해 놓았습니다
부분분수의 해법을 쉽게 정리해 놓았습니다

목차

2.2.1 라플라스 변환의 성질
2.2.3 라플라스 역변환

본문내용

2.2 라플라스 변환



라플라스 변환(Laplace Transformation)은 선형 상미분방정식의 해를 구하거나 시스템의 전달함수를 구하는 데에 쓰이는 수학적 방법이다. 이 방법을 쓰면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌어 쉽게 풀릴 뿐만 아니라, 시스템의 특성을 분수함수 형태의 전달함수로 나타낼 수 있어서 수학적으로 처리하기가 쉬워지기 때문에 제어 시스템의 해석과 설계에 매우 많이 쓰이는 방법이다. 여기에서는 라플라스 변환을 수학적으로 엄밀하게 다루기보다는 이 변환의 활용에 초점을 맞추어 이 변환의 몇 가지 기본성질들만을 정리한 뒤에 이 성질들을 활용하는 방법을 예시할 것이다.

정의2.1 : 어떤 시간함수 에 대한 라플라스 변환함수는 다음과 같이 정의된다:



여기서 는 복소변수, 는 라플라스 변환을,는 라플라스 변환함수를 나타낸 것이다.는 의 실수부를 뜻하며, 는 라플라스 적분이 존재하는 수렴경계(Boundary of convergence)이다. 그리고 시간함수는 시점 이후에만 정의되는 준연속(Piecewise continuous)함수로서, 에서는 값이 인 것으로 가정한다.
시간함수에 대한 조건 가운데 준연속함수란 불연속점의 수가 유한한 함수를 뜻하며, 모든 연속함수들은 여기에 속한다. 그리고 식(2.1)에서 시간함수에 대한 라플라스 변환은 적분핵(Kernel) 의 두 변수 와 가운데 시간에 대한 정적분으로 정의되어 의 함수가 되기 때문에 로 표기한 것이다. 변환변수 의 단위는 시간의 역수가 되어 주파수 단위와 같기 때문에 영역을 주파수영역(Frequency domain)이라고도 부른다.

라플라스 변환은 임의의 시간함수에 대해서 모두 존재하는 것은 아니며 식(2.1)의 라플라스 적분이 수렴하는 경우에만 존재한다. 즉, 수렴영역(Region of convergence) 에서 수렴경계 가 유한한 경우에만 존재한다고 할 수 있다. 시간함수 가 구간에서 유한한 경우와 항들로 이루어지는 정함수의 경우에는 이 되고, 의 지수함수 항을 포함하는 경우에는가 되어 수렴경계가 항상 존재하기 때문에 라플라스 변환을 구할 수 있다. 따라서 공학분야에

참고자료

· 없음