[공학]Matlab (매트랩) 을 이용한 FFT 수식 도출 유도

소개

Matlab (매트랩) 을 이용한 FFT 수식 도출 유도

목차

§ Matlab (매트랩) 을 이용한 FFT 수식 도출 유도
1. Least Square
2. Orthogonality
3. Fourier Series
4. Fourier Transform

본문내용

1. Least Square
 
우리가 어떤 함수를 근사화할 때에는 Least Square(최소자승) 방식을 사용하게 됩니다. 이 방식은 다음과 같은 TSE(total square error) 를 최소화하는 방식입니다.
 
위 수식에서 삿갓 표시가 되어있는 함수가 근사 함수입니다.
Discrete 개념으로 넘어가면 TSE를 다음 수식과 같이 정의할 수 있을 것입니다.
 
다음 수식과 같은 Polynomial 방식도 일종의 Least Square 방식이라고 볼 수 있습니다.
 
 
 계수 c는 최종적으로 결정되어야 할 부분이며 함수 t 의 m 승은 우리가 알고 있는 기준이 되는 함수입니다. 즉, 미정계수 c와 기준 함수를 곱하여서 근사화 함수를 찾고자 하는 것이 Least Square 방식의 목적이라고 볼 수 있을 것입니다. 기준 함수로서 t의 m승을 준 것은 Least Square 방식의 특별한 케이스인 Polynormal 방식인 것입니다. 그렇다면 Discrete 영역에서 기준 함수를 g로 주었을 때에는 다음과 같은 정의가 가능할 것입니다.
 
이 때의 TSE는 다음과 같이 정의됩니다.
 
TSE 를 최소화하는게 목적이므로 다음 수식과 같은 전개가 가능할 것입니다.
 
 
그러므로 다음 수식이 성립됩니다.

Matlab™ 으로 예제를 들어 설명하도록 하겠습니다.
 
우선, 근사화해야 할 함수 f를 정의합니다. 그 후에 기준 함수 G를 정의합니다. 되도록이면 원함수와 비슷한 형태를 주는 것이 유리하겠죠? 그런후에 바로 위의 수식에 의하여 계수를 결정합니다. 계수가 결정되었으므로 근사 함수 f^hat 를 구할 수 있게 됩니다.
 
전체 코드는 다음과 같습니다.

참고자료

· 없음