클라인 기하학 요약(에를랑겐 목록)

소개

클라인이 이런 정의에 도달하게 된 사고의 발생 과정
유클리드 <원론>
, 확장되지 않은 평면 위에 놓여 있는 두 도형이 서로 같기 위한 필요 충분 조건은 적절한 이동, 회전, 선에 관한. 대칭 이동 등에 의해 서로 일치시킬 수 있는 경우라 정의하고 있다. 그러므로 <원론>의 초반부에서는 , 확장되지 않은 평면의 이른바 ‘등장 변환’즉 이동, 회전, 선에 관한 대칭이동에 대해서 변하지 않는, 즉 불변인 도형의 성질들을 연구한다. 그런데 임의의 두 평면 등장 변환의 곱은 평면 등장 변환이고, 평면 등장 변환의 역 변환

목차

‘에를랑겐 목록’
클라인이 기하학알아 보기위한 준비
클라인이 이런 정의에 도달하게 된 사고의 발생 과정

본문내용

‘에를랑겐 목록’
① 1872 년 에를랑겐 대학의 철학 교수와 이사로 임명을 받은 클라인은 전통에 따라서 자신의 전공분야에 관한 취임 강연에서 그는 자신의 연구 결과와 노르웨이 수학자 리 의 연구 결과에 근거한 그 강연에서 ‘기하학’에 대한 놀라운 정의를 발표
② 당시에 존재했던 모든 기하학을 요약
③ 군론이 거의 모든 수학 분야에 도입된 시기에 나타나(일부 수학자들이 모든 수학은 군론 의 어떤 변형에 불과하다고 느끼기 시작한 시기)

클라인이 기하학알아 보기위한 준비
‘정칙 변환’의 개념에 근거: 정칙 변환은 S의 각 원소가 단 하나의 S의 원소와 대응하고, S의 각 원소는 유일한 S의 원소에 대응되는 관계를 의미 ( ‘일대일 대응’ )

변환 T에 의해 a는 b로 ‘보내진다’ : 집합 S에서 S위로의 정칙 변환 T 에 대해 S의 원소 a가 S의 원소 b에 대응

과 의 ‘곱’ : 을 시행한 뒤에 변환 를 시행해서 얻는 합성변환을 의미

정직 변환의 곱이 가환적 (X)
예) : (x,y)평면의 점 전체의 집합 S위에서 양의 x축 방향으로 단위 길이 만큼의 이동 : 좌표 평면의 원점을 중심으로 반시계방향으로 90°만큼의 S의 회전
: (1,0)→(0,2)이지만 :(1,0)→ (1,1)

정칙 변환들의 곱은 결합 법칙 (O)
예) 집합 S에서 S위로의 임의의 세 변환을
: a→b :b→c :c→d 라가정
:a→ c , c→d ∴)():a→d
:a→ b, b→ d ∴) ():a→d

‘역 변환’:는 집함 S에서 S위로의 임의의 정칙 변환

참고자료

· 없음