[수학] Chaos 이론에 등장하는 만델플로트(Mandelblot)집합

목차

1. 카오스(chaos)
2. 프랙탈(fractal) : '혼돈의 패턴'
3. Mandelbrot - 프랙탈(Fractal) 이론의 창시자
4. Thin fractal vs. Fat fractal
5. 스메일의 말발굽 사상(Smale's horseshoe map)
6. 코흐곡선과 프랙탈 차원 (Koch curve and fractal dimension)
7. 자기유사성 (Self-similarity)
8. 일상에서의 카오스현상

*그림목차
1. 만델브로트 집합
2. 칸토어 먼지
3. 말발굽 사상
4. 코흐곡선

본문내용

프랙탈은 자연계의 구조적 불규칙성을 기술하고 분석할 수 있는 새로운 기하학으로, 동력학에서 다양하게 나타나는 카오스 형상을 정량적으로 기술할 수 있는 새로운 언어를 제공하고 있다. 어린이들은 학교에 들어가면, 직선 동그라미 세모 네모 등을 그리며 기하학을 배운다. 하지만 인위적이 아닌 자연 상태의 어떤 모양도 유클리드 기하학적 형상을 보이지 않는다. 자연의 형상을 근사적으로 보아 산을 대충 원뿔로, 나무는 삼각형에 막대가 달린 모양으로 묘사 하게 되지만 이는 정확한 묘사가 아니다.

캘리포니아 버클리 대학의 수학 교수인 스메일은 말발굽 사상(horseshoe map)의 개념으로 기이한 끌개가 프랙탈 구조를 갖는 이유를 설명했으며, 이는 마치 밀가루 반죽을 할 때 잡아 늘리고 접는 숙달된 요리사의 행동과 원리가 같다.
하지만 밀가루 반죽은 전체 부피가 줄어들지 않지만 기이한 끌개가 나타나는 분산 동력학계 (dissipative dynamical system)에서는 위상 공간의 부피가 시간에 따라 줄어든다.
그러나 기이한 끌개는 위상 공간의 차원보다 작은 값의 차원으로 나타나므로 주어진 위상 공간에서 체적이 없는 야윈 프랙탈이다 (3차원공간에서 2차원의 면은 체적이 없는 것과 마찬가지 개념).

참고자료

· 없음