수학적 지식의 특성에 대하여-경험적 지식으로서의 수학

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많은 사람들은 수학에 대해서 오해하곤 한다. 수학은 진리를 찾는 학문이며, 연역으로만 구성되어 있으며, 수학적 귀납법을 배우지만 그것도 연역의 한 종류인 것이라는 등. 이러한 이미지들의 근원은 알 것 같기는 하지만, 그래도 왜곡이 있다는 것은 변함이 없다. 우선, 20세기의 수학기초론의 발전에 대한 이야기를 할 것이다. 그리고 수학의 발전에 관한 다양한 예시를 들어서, 수학이 어떤 학문인지 이야기하고 이 글을 끝맺고자 한다.

20세기 초, 수학계에는 ‘수학의 기초는 무엇인가’ 에 대한 논의가 열을 뿜었다. 이에 대해서 러셀과 브로우베르, 힐베르트의 세 수학자의 의견이 중심이 되었고, 각각은 다음과 같다.
1.논리주의:수학의 모든 지식은 논리적인 과정으로 구성된다.
2.형식주의:의미를 배제한 기호를 사용하여 수학의 지식을 구성한다.
3.직관주의:수학의 지식은 직관으로부터 생성된다.
각각은 수학의 지식을 어떻게 생각해야 하는 지에 대한 나름의 방식을 제공한다. 만약 어떤 논리학자가 증명을 제시한다면, 논리주의 학자는 ‘그렇지!’, 형식주의 학자는 ‘그걸 일반화된 기호로 본다면, 그 구조를 갖는 명제의 증명들을 생각할 수 있을 것이다.’, 직관주의 학자라면 ‘꼭 그래야 해?’ 라고 반응하게 된다. 그렇다면, 이 중에서 어느 것이 맞느냐는 건데, 그걸 알 수가 없다. 각자가 그 나름대로 지식에 대한 입장이 ‘철학적으로’ 있는 것들이기 때문이다.
그러나, 힐베르트의 정초주의적인 시도에 대해서는 짚고 넘어가야 한다. 힐베르트는 증명 자체에 관심을 가지면서, 다음과 같은 문제를 해결해야 한다고 주장했다.
-수학의 체계는 모순을 가지지 않는가?
이는 수학의 공리체계가 모순을 가지지 않는지 증명해야 한다는 것이다. 즉, 유클리드의 기하가 모순이 아니라는 것을 증명하기 위해 유클리드의 공리로서 ‘나는 모순을 가지지 않는다’ 라는 증명을 해야 한다. 그런 식의 증명을 해야 한다는 것이다.

참고자료

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