수치해석연습문제풀이(한양대)

소개

한양대 수치해석 수업 연습문제 풀이-C++언어로 작성 및 발표자료

목차

수치해석 예제풀이
Newton의 차분법 수작업 및 코딩
spline함수의 차분법 수작업 및 코딩
최소자승법의 차분법 수작업 및 코딩

본문내용

수작업으로 차분표 작성시에 유효숫자 소수점이하 5자리에서 반올림하였다. 이 문제의 (a)에 대한 Newton 보간 다항식은 기준점이 0.4이므로 최대 6차까지 보간 다항식을 구할 수 있고, 문제 (b)에서는 0.5 기준점을 갖고 후진 차분 방식이므로 최대 4차 까지 보간 다항식을 구할 수 있다. 그러나 고차 보간에서는 마무리오차가 커지는 관계로 신뢰성을 상실하므로 4차 까지 만의 보간 다항식을 구하였다.

C 언어를 이용한 coding에서는 sproduct 사용자 지정 함수를 만들어 모듈화 하고 필요할 때 마다 호출하여 사용하였다. 차분표를 프로그래밍화 할 때는 각 계의 전진 차분의 i번째 항만 따로 하나의 배열에 저장하여 Newton 보간 식에서 각 n 차 보간에 이용할 수 있도록 하였다. 즉 기준점이 바뀌면 기억되는 i번째 항도 바뀌어 저장되고, Newton 보간 다항식을 풀 때에는 i번째항만 사용하므로 전혀 문제되지 않고 더욱 간단하고 효율적으로 coding을 할 수 있다. 또한 메모리 양도 훨씬 적게 든다. For문을 사용하여 loop를 돌리면서 각각의 보간을 구하였다. 차분표 자체를 결과로 표시하고자 한다면 각각의 for문에 출력 명령어를 간단히 추가하면 가능하다.

에러는 절대오차 대신 상대오차를 구하였고 결과에서 알 수 있듯이 점점 줄어든다. 고차보다 4차까지만 의미가 있다. 그러나 프로그램에서는 n값을 어떻게 지정해 주느냐에 따라서 (전진 차분의 경우) 마지막 6차 보간값도 구할 수 있도록 하였다. (b)문제에서는 3,4차 보간에서 오히려 오차가 증가하였다. 이는 연산수가 많아지면서 마무리오차가 증대되었기 때문에 발생한 것으로 생각된다.

이를 그래프로 또한 나타내었다. 즉 s를 x축으로 하고 P를 y축으로 하여 n값에 따라 각각의 (n-th order) 그래프를 비교한 것이다. 빨간색으로 나타낸 것은 참 값에 해당하는 1/x 의 그래프이다. 0차 보간은 각각 2.5와 2에서 수평선으로 나타난다. 전진 차분 보간 그래프에서 보면 알 수 있듯이 3, 4차 보간의 경우 에러가 매우 적은 것을 볼 수 있다. 전진과 후진, 그리고 중앙 차분 보간의 경우에서 보통 중앙 차분 보간이 가장 정확한 보간값을 갖는데, 이번의 경우에는 전진 차분의 값 역시 매우 근사한 값을 갖는 것을 알 수 있다. 후진 차분의 경우에는 차수가 증가하면서 실제 참 값으로 접근하지만 2차 보간 보다 3차 보간이 더 멀어지고 4차 보간 그래프는 더욱 멀어지면서 에러가 더욱 크게 나타나는 것을 볼 수 있다.

참고자료

· 없음