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sin x의 테일러 다항식 대해 matlab 프로그램을 이용하여 값을 얻어 보자.

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최초등록일 2024.06.13 최종저작일 2010.06
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    • 🧮 수치해석의 핵심 개념인 테일러 다항식을 실제 MATLAB 코드로 구현
    • 📊 Sin x의 근사값과 오차를 체계적으로 분석하는 실무적 접근
    • 💻 MATLAB을 활용한 수학적 알고리즘의 실제 구현 방법 제시
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    목차

    1. Tayler’s theorem
    2. Sin x의 테일러 다항식
    3. MATLAB 프로그램 : 연습문제 2.12
    4. MATLAB 프로그램 : 연습문제 2.12 결과
    5. MATLAB 프로그램 : Sin x와 테일러 다항식의 오차
    6. MATLAB 프로그램 : Sin x와 테일러 다항식의 오차 결과

    본문내용

    1. Tayler’s theorem

    테일러 급수(전개)는 어떤 함수에서 미분 가능한 한 점의 값으로 이루어진 무한의 합으로 구성된 함수이다.
    이는 테일러 다항식의 극한으로 간주되기도 한데, 영국의 수학자 Brook Taylor의 이름에서 따온 것이다.
    특별히 급수가 0일 때는 maclaurin 급수라고 한다.
    테일러 급수는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
    수식 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series
     
    이를 공식화 하면 다음과 같다.
     
    n!는 n의 factorial을 의미하며, ƒ (n)(a) 는 a에서 n차 미분한 값이다. 따라서 위의 n이 무한으로 수렴하게 되면,
    f(x)에 근사하게 되는 것이다.
    대표적인 함수를 예를 들어 수식으로 보게 되면 아래와 같다.

    2. Sin x의 테일러 다항식

    Sin X에 대한 이야기를 해보자.
    X가 0에 가까운 지점에서 특징적인 것은, Y=X 그래프와 거의 비슷하게 생겼다는 것이다.
    x ≒ sin X 이를 좀 더 확장해서 이야기하면, sin X의 X=0인 점에 대한 접선의 방정식은, 그 근사 결과와 같다는 것이다.

    참고자료

    · 2nd Edition 응용 수치해석-Applied Numerical Methods with MATLAB
    · 저자-Steven C. Chapra, 역자-손권, 최윤호, 김철, McGraw-Hill Korea(2008.2.15) 3장 p.49 ~ 4장 p.124

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    • 1. Tayler's theorem
      Tayler's theorem is a fundamental result in mathematical analysis that provides a way to approximate a function using a polynomial. It states that if a function f(x) is n times differentiable in an interval [a, b], then for any x in that interval, the function can be approximated by a polynomial of degree n, called the Tayler polynomial, plus a remainder term that goes to zero as the degree of the polynomial increases. This theorem is widely used in various fields of science and engineering, such as numerical analysis, physics, and engineering, to approximate complex functions with simpler polynomial expressions. The theorem allows for efficient computation and analysis of functions, and its applications range from solving differential equations to optimizing engineering designs. Understanding and applying Tayler's theorem is crucial for many advanced topics in mathematics and its applications.
    • 2. Sin x의 테일러 다항식
      The Taylor series expansion of the sine function, sin(x), is a powerful tool for approximating and analyzing this fundamental trigonometric function. The Taylor series represents sin(x) as an infinite sum of polynomial terms, where each term is derived from the derivatives of the function evaluated at a specific point, typically x=0. This expansion allows for the accurate representation of sin(x) using a finite number of terms, providing a practical and efficient way to compute the sine function, especially for small values of x. The Taylor series of sin(x) has numerous applications in various fields, such as numerical analysis, signal processing, and physics, where the sine function is widely used. Understanding the properties and convergence of the sin(x) Taylor series is essential for understanding more advanced mathematical concepts and techniques, such as Fourier analysis and the study of periodic functions. The ability to accurately approximate sin(x) using a truncated Taylor series is a valuable skill for students and professionals working in mathematics, science, and engineering.
    • 3. MATLAB 프로그램 : 연습문제 2.12
      The MATLAB program for exercise 2.12 is a valuable tool for students and researchers to explore the concepts of Taylor series and their applications. This exercise likely involves implementing a MATLAB program to compute and compare the values of a function and its Taylor series approximation. By writing and executing this program, students can gain a deeper understanding of how Taylor series work in practice, how to implement them in a programming environment, and how the accuracy of the approximation improves as the number of terms in the series increases. The ability to visualize the function and its Taylor series approximation through MATLAB plots can further enhance the learning experience and provide insights into the behavior of the function and the convergence properties of the Taylor series. Completing this exercise not only strengthens programming skills but also reinforces the theoretical concepts of Taylor series, which are fundamental in many areas of mathematics, science, and engineering. The experience gained from this exercise can be valuable for tackling more complex problems and applications involving Taylor series in the future.
    • 4. MATLAB 프로그램 : Sin x와 테일러 다항식의 오차
      The MATLAB program for exploring the error between the sine function and its Taylor series approximation is a valuable tool for understanding the properties and limitations of this important mathematical concept. By implementing this program, students can gain insights into how the accuracy of the Taylor series approximation of sin(x) varies as the number of terms in the series is increased. The ability to visualize the function, the Taylor series approximation, and the error between them through MATLAB plots can provide a deeper understanding of the convergence properties of the Taylor series and the factors that influence the accuracy of the approximation. This exercise not only reinforces the theoretical knowledge of Taylor series but also develops practical programming skills in MATLAB, which is a widely used tool in various scientific and engineering fields. The experience gained from this exercise can be applied to analyzing the error and convergence of Taylor series approximations for other functions, leading to a more comprehensive understanding of this fundamental mathematical concept and its applications. Overall, this MATLAB program is a valuable learning resource that can enhance students' understanding of Taylor series and their practical implementation.

  • 자료후기

      Ai 리뷰
      수치해석의 핵심 개념인 Tayler's 정리와 테일러 다항식을 이해하고, MATLAB 프로그램을 활용하여 실습 문제를 해결하고 오차 분석을 수행하는 등 수치해석 기술의 다양한 활용 방안을 제시하고 있습니다.

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