소개글
"세상을 바꾸는 아름다운 수학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
1.1.2. 베이즈 정리의 정의와 활용
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
1.2.2. 베이지안 추론의 과정
1.2.3. 베이지안 추론의 응용 사례
1.3. 베이즈 정리와 베이지안 추론의 차이
2. 이토록 아름다운 수학이라면
2.1. 들어가며
2.2. 수학을 공부하는 이유
2.3. 삶에 수학이 들어오는 순간
2.4. 그리스인들이 수학에 철학적 의미를 부여한 이유
2.5. 매칭과 무한
2.6. 함수
3. 위대한 수학자 오일러
3.1. 오일러에 관심을 갖게 된 계기
3.2. 오일러의 생애
3.3. 오일러의 수학적 업적
3.3.1. 오일러의 한붓그리기
3.3.2. 다양한 수학적 표현의 확립
3.3.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
3.3.4. 오일러의 공식
3.4. 오일러, 그는 어떤 수학자인가
4. 참고 문헌
본문내용
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
일반적인 사회현상을 살펴보면 많은 변수들이 존재한다. 과학실험과 같이 여러 변수들을 통제하고 조사 및 분석을 할 수 없고, 두 가지 이상의 사건에 대해서 하나의 조건이 발생했다는 전제 하에 다른 조건이 발생하는 경우가 많다. 즉 실험에 관련된 두 사건 A,B에 있어서 일반적으로 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라진다.
표본공간 S의 부분집합 사건 A,B에 대하여, 사건 A가 발생한 후에 B가 발생한 경우의 확률을 P(A|B)로 나타낼 수 있다. P(A|B) = {P(B|A) P(A)} / {P(B)}, 단 P(B)>0이다. 이는 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 조건부확률이다. 즉, 특정 사건의 발생 여부에 따라 다른 사건의 발생확률이 달라지는 것을 의미한다.
1.1.2. 베이즈 정리의 정의와 활용
베이즈 정리의 정의와 활용은 다음과 같다.
조건부확률의 개념에서 특정 사건의 확률은 그 사건과 연관된 새로운 정보가 입수되면 개선하거나 수정할 수 있다. 새로운 실험 결과에서 나온 정보를 이용하여 어떤 사건의 처음 확률을 개선시킬 수 있는데 처음 확률을 사전확률(prior probability)이라 하고, 개선된 확률을 사후확률(posterior probability)라고 한다. 이러한 확률들을 계산하는 방법을 제공하는 것이 베이즈 정리(Bayes' rule)이다.
예를 들어 어떤 사람이 병에 걸렸을 사건을 A라고 부르고 병에 걸리지 않은 사건, 즉 A의 여사건을 A^c라고 하고, 증상이 있을 사건을 B라고 하고, 증상이 없을 사건을 B^c라고 하고, 또한 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 결합 사건의 확률을 P(A∩B)이라 하면, 다음의 베이즈 정리가 성립한다.
P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)
P(A∩B) = P(B|A) * P(A)
P(B) = P(A∩B) + P(A^c∩B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A^c) * P(A^c)
베이즈의 정리를 이용한 확률 계산은 확률을 계산하는 순서가 거꾸로 되어 있는 역확률이라고도 한다. 여기서 순서는 원인과 결과의 순서로서, 질병과 증상의 관계에서는 질병의 유무가 원인, 드러나는 증상이 결과에 해당한다. 이때 증상에 대한 데이터를 수집하기 이전 단계에서 구한 질병의 확률 P(A)를 사전확률이라 부르고, 데이터 수집 후 업데이트된 질병의 확률 P(A|B)를 사후 확률이라고 부른다. 이 정리는 환자에게 증상이 발생함으로써, 즉 증상 발생이 진실이라는 것을 알게 됨으로써 질병의 유무의 확률이 어떻게 변화하는지를 나타낸다. 또한, 데이터의 정보를 이용해 원인의 확률과 데이터를 서로 연결시킴으로서, 새로운 정보가 기존의 추론에 어떻게 영향을 미치는지를 나타낸다.
이처럼 베이즈 정리는 특정 사건의 사전확률에 새로운 정보를 반영하여 사후확률을 계산함으로써, 불확실성 하에서의 확률적 추론을 가능하게 한다. 이는 의학, 경제, 인공지능 등 다양한 분야에서 유용하게 활용되고 있다.
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
베이지안 추론의 개념은 이전의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론하고자 베이즈 정리를 사용하는 것이다"" 베이지안 추론에서는 사전확률(P(A))과 증거(P(B)), 그리고 가능도(P(B|A))를 활용하여 사후확률(P(A|B))을 계산한다"" 이를 통해 추론해야 할 대상의 사전 확률과 추가적 관측을 통해 획득한 데이터를 기반으로 해당 대상의 사후 확률을 추론할 수 있다"" 즉, 베이지안 추론은 데이터와 생성모형을 알고 있을 때 베이즈 추론을 통해 모수를 찾아내거나, 모수와 생성모형을 알고 있다면 데이터를 생성시킬 수 있는 방법이다""
1.2.2. 베이지안 추론의 과정
베이지안 추론의 과정은 다음과 같다.
먼저, 추론해야 할 대상의 사전 확률을 정의한다. 이것이 'P(H)'로 표현되며, "사건 H가 발생한다"는 명제에 대한 사전 믿음의 강도를 나타낸다.
다음으로, 새로운 증거 E가 관찰되면 사건 H의 사후 확률 P(H|E)를 계산한다. 이는 베이즈 정리를 통해 이루어지는데, P(H|E) = (P(E|H)P(H)) / P(E)의 공식을 이용하여 사후 확률을 산출한다. 여기에서 P(E|H)는 가능도로, 가설 H가 참일 때 증거 E가 관찰될 확률을 의미한다.
마지막으로, 이렇게 계산된 사후 확률 P(H|E)를 통해 가설 H에 대한 믿음의 정도를 업데이트한다. 이러한 과정을 반복하면 새로운 증거를 반영하여 점점 더 정확한 사후 확률 분포를 추정할 수 있게 된다.
요약하면, 베이지안 추론의 과정은 사전 확률 정의 → 베이즈 정리를 이용한 사후 확률 계산 → 사후 확률을 통한 믿음 업데이트의 순서로 진행된다고 할 수 있다.""
1.2.3. 베이지안 추론의 응용 사례
베이지안 추론의 응용 사례는 다음과 같다"".
군사적 관점에서 베이지안 추론은 과거의 전쟁사 자료를 분석하고 미래를 예측하는 데 적절하게 활용될 수 있다"". 과거의 전쟁사 자료를 수집하여 이를 바탕으로 미래...
참고 자료
토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
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베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
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와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
