세상을 바꾸는 아름다운 수학

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최초 생성일 2024.11.09
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소개글

"세상을 바꾸는 아름다운 수학"에 대한 내용입니다.

목차

1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
1.1.2. 베이즈 정리의 개념
1.2. 베이지안의 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
1.2.2. 베이지안 추론의 과정
1.3. 베이지안 추론의 응용 사례
1.4. 베이즈의 정리와 베이지안의 추론에 대한 생각

2. 수학의 아름다움
2.1. 수학을 공부하는 이유
2.2. 삶에 수학이 들어오는 순간
2.3. 그리스인들이 수학에 철학적 의미를 부여한 이유
2.4. 함수와 무한

3. 위대한 수학자 오일러
3.1. 오일러의 생애
3.2. 오일러의 수학적 업적
3.2.1. 오일러의 한붓그리기
3.2.2. 다양한 수학적 표현의 확립
3.2.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
3.2.4. 가장 아름다운 공식, 오일러의 공식
3.3. 오일러, 그는 어떤 수학자인가

4. 참고 문헌

본문내용

1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률

일반적인 사회현상을 살펴보면 많은 변수들이 존재하며, 과학실험과 같이 여러 변수들을 통제하고 조사 및 분석을 할 수 없는 경우가 많다. 이때 두 가지 이상의 사건에 대해서 하나의 조건이 발생했다는 전제 하에 다른 조건이 발생하는 경우가 종종 발생한다. 즉 실험에 관련된 두 사건 A와 B에 있어서 일반적으로 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라진다는 것이다.

이러한 경우 표본공간 S의 부분집합 사건 A와 B에 대하여, 사건 A가 발생한 후에 B가 발생한 경우의 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P(A|B) = {P(B|A) P(A)} / {P(B)}

단, P(B) > 0 이어야 한다.

이것이 조건부확률의 개념으로, 특정 사건의 확률은 그 사건과 연관된 새로운 정보가 입수되면 개선하거나 수정할 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 새로운 실험 결과에서 나온 정보를 이용하여 어떤 사건의 처음 확률을 개선시킬 수 있는데 이때 처음 확률을 사전확률(prior probability)이라 하고, 개선된 확률을 사후확률(posterior probability)이라고 한다.


1.1.2. 베이즈 정리의 개념

베이즈 정리의 개념은 다음과 같다.

베이즈 정리는 특정 사건의 확률을 개선하거나 수정할 수 있는 방법을 제공한다. 새로운 실험 결과에서 나온 정보를 이용하여 어떤 사건의 처음 확률을 개선시킬 수 있는데, 처음 확률을 사전확률(prior probability)이라 하고, 개선된 확률을 사후확률(posterior probability)이라고 한다.

예를 들어 어떤 사람이 병에 걸렸을 사건을 A, 병에 걸리지 않은 사건(A의 여사건)을 A^c라고 하고, 증상이 있을 사건을 B, 증상이 없을 사건을 B^c라고 하며, 사건 A와 사건 B가 동시에 일어날 결합 사건의 확률을 P(A∩B)라고 하면, 다음과 같은 베이즈 정리가 성립한다:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = P(A∩B) / P(B)

이 정리는 증상 발생이 진실이라는 것을 알게 됨으로써 질병의 유무에 대한 확률이 어떻게 변화하는지를 보여준다. 또한 데이터의 정보를 이용해 원인의 확률과 데이터를 서로 연결시킴으로써 새로운 정보가 기존의 추론에 어떻게 영향을 미치는지를 나타낸다.


1.2. 베이지안의 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념

베이지안 추론의 개념은 이전의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론하는 것이다. 베이지안 추론에서는 사전확률(P(A))과 가능도(P(B|A)), 그리고 증거(P(B))를 활용하여 사후확률(P(A|B))을 구한다.

사전확률은 이전의 경험과 지식을 반영한 것으로, 사건 A가 발생할 확률에 대한 "믿음의 정도"를 나타낸다. 가능도는 사건 A가 발생했을 때 B가 나타날 수 있는 조건부 확률로, 관찰된 증거 B와 가정된 모형 사이의 관계를 의미한다. 증거는 실제로 관측된 결과인 B의 확률을 나타낸다.

베이즈 정리를 통해 사전확률, 가능도, 증거를 이용하여 사후확률을 계산할 수 있다. 이때 사후확률은 새로운 증거가 관찰된 후 갱신된 "믿음의 정도"를 나타내며, 이는 기존 추론에 새로운 정보가 어떻게 영향을 미치는지를 보여준다.

베이지안 추론은 단순히 점추정을 하는 것이 아니라 사후분포 전체를 추정함으로써 불확실성을 반영할 수 있다는 장점이 있다. 이를 통해 미래를 예측하거나 의사결정을 내리는 데 더 많은 정보를 활용할 수 있다.


1.2.2. 베이지안 추론의 과정

베이지안 추론의 과정은 다음과 같다""

먼저 관심의 대상이 되는 사건 A와 관찰 가능한 사건 B가 있다고 가정한다. 베이지안 추론은 사건 A의 사전 확률 P(A)와 A가 발생했을 때 B가 관찰될 조건부 확률 P(B|A)를 이용하여 A가 발생했을 가능성인 사후 확률 P(A|B)를 구하는 과정이다""

구체적인 과정은 다음과 같다""

1. 사건 A의 사전 확률 P(A)를 결정한다. 이는 관심 대상인 A가 발생할 것이라는 연구자의 사전 믿음을 확률값으로 나타낸 것이다""

2. 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 관찰될 조건부 확률 P(B|A)를 결정한다. 이는 A...


참고 자료

토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
조연우. "조건부확률과 응용에 관한 연구." 국내석사학위논문 단국대학교, 2005. 서울
베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
Lee, S.-L., Yoo, B. J., Youn, S., Bang, S.-H., & Jung, J.-W. (2021). A Study on the War Simulation and Prediction Using Bayesian Inference.The Journal of the Korea Contents Association,21(11), 77–86.

맹기완, 야밤의 공대생 만화, 뿌리와 이파리, 2017
E. T bell, 김종철 역, 고독한 천재들, 지앤지, 2006
김화영, 교과서를 만든 수학자들, 글담, 2005
와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017

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