소개글
"세상을 바꾸는 아름다운 수학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 베이즈 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈 정리
1.1.1. 조건부 확률
1.1.2. 베이즈 정리의 정의
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
1.2.2. 베이지안 추론 과정
1.3. 베이지안 추론의 응용 사례
1.4. 베이지안 추론의 활용
2. 이토록 아름다운 수학이라면
2.1. 들어가며
2.2. 수학을 공부하는 이유
2.3. 삶에 수학이 들어오는 순간
2.4. 그리스인들이 수학에 철학적 의미를 부여한 이유
2.5. 매칭과 무한
2.6. 함수
2.7. 0의 발견
2.8. 수학은 인간의 삶과 크게 다르지 않다
3. 위대한 수학자 오일러
3.1. 서론
3.1.1. 오일러에 관심을 갖게 된 계기
3.2. 오일러의 생애
3.3. 오일러의 수학적 업적
3.3.1. 오일러의 한붓그리기
3.3.2. 다양한 수학적 표현의 확립
3.3.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
3.3.4. 가장 아름다운 공식, 오일러의 공식
3.4. 결론
3.4.1. 오일러는 어떤 수학자인가
4. 참고 문헌
본문내용
1. 베이즈 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈 정리
1.1.1. 조건부 확률
일반적인 사회현상을 살펴보면 많은 변수들이 존재한다. 과학실험과 같이 여러 변수들을 통제하고 조사 및 분석을 할 수 없고, 두 가지 이상의 사건에 대해서 하나의 조건이 발생했다는 전제 하에 다른 조건이 발생하는 경우가 많다. 즉 실험에 관련된 두 사건 A,B에 있어서 일반적으로 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라진다.
표본공간 S의 부분집합 사건 A,B에 대하여, 사건 A가 발생한 후에 B가 발생한 경우의 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다. P(A|B) = {P(B|A) P(A)} over {P(B)}(P(B)>0) 이는 조건부 확률의 개념으로, 특정 사건의 확률은 그 사건과 연관된 새로운 정보가 입수되면 개선하거나 수정할 수 있음을 의미한다.
1.1.2. 베이즈 정리의 정의
베이즈 정리의 정의는 다음과 같다""
베이즈 정리는 사건 A와 B 사이의 조건부 확률 관계를 나타내는 정리이다. 이 정리에 따르면, 사건 B가 발생했을 때 사건 A가 발생할 확률 P(A|B)는 사건 A가 발생할 확률 P(A)와 사건 B가 A가 발생한 경우 발생할 확률 P(B|A)의 곱을 사건 B가 발생할 확률 P(B)로 나누어 계산할 수 있다. 즉, P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)이다.
베이즈 정리는 기존에 알고 있던 사전 확률 P(A)에 새로운 증거 B가 주어짐에 따라 사후 확률 P(A|B)를 업데이트하는 방법을 제공한다. 따라서 베이즈 정리는 불확실성이 존재하는 상황에서 새로운 정보를 활용하여 사건의 확률을 추정하는 데 유용하게 사용될 수 있다.""
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
베이지안 추론의 개념은 다음과 같다. 베이지안 추론에서는 이전의 경험과 현재의 증거를 토대로 어떤 사건의 확률을 추론하고자 베이즈 정리를 사용한다. 여기서 P(A)는 사전확률로 '사건 A가 발생한다'라는 명제에 대한 "믿음의 정도"를 확률값으로 할당한 값이다. P(B)는 증거로 측정을 통해 얻어진 B가 발생할 확률이다. P(B|A)는 가능도로 '사건 A가 발생한다'라는 명제가 성립할 때의 B가 나타날 수 있는 조건부 확률이다. P(B|A)와 P(A),P(B)를 통해 얻어지는 P(A|B)는 사후확률로 B라는 증거가 관찰된 후의 명제에 대한 확률이며, 증거를 보고서 변화된 믿음의 정도로 볼 수 있다. 즉, 베이지안 추론은 사전 확률과 증거 데이터를 기반으로 사후 확률을 추정하는 통계적 추론 방법이다.
1.2.2. 베이지안 추론 과정
베이지안 추론 과정은 다음과 같다""
베이지안 추론에서는 사전확률 P(A), 증거 P(B), 가능도 P(B|A)를 이용하여 사후확률 P(A|B)를 계산한다"" 이를 통해 추론해야 하는 대상의 사전 확률과 추가적 관측을 통해 획득한 데이터를 기반으로 해당 대상의 사후 확률을 추론할 수 있다""
예를 들어, 동전을 10번 던져 앞면이 3번 관측되었다고 가정하자"" 이때 동전이 공평한 동전이라고 생각하여 사전확률을 Alpha=1, Beta=1로 두면, 앞면이 나올 확률 p의 사후분포는 Beta(1+3, 1+7)을 따른다""
만약 동전이 약간 뒷면으로 편향되었다고 생각하여 사전확률을 Alpha=20, Beta=20으로 두면, p의 사후분포는 Beta(20+3, 20+7)이 된다"" 이는 동전이 좀 더 뒷면으로 편향되어 있다는 믿음이 반영된 것이다""
반대로 동전이 앞면으로 편향되었다고 생각하여 사전확률을 Alpha=30, Beta=10으로 두면, p의 사후분포는 Beta(30+3, 10+7)이 된다"" 이는 동전이 앞면으로 편향되어 있다는 강한 확신이 약간 줄어들었음을 의미한다""
이처럼 베이지안 추론에서는 사전분포, 데이터, 생성모형, 모수 간의 긴밀한 관계 속에서 추론이 이루어진다"" 관측 데이터가 늘어날수록 사전분포의 영향력은 감소하고 데이터가 주도하는 사후분포로 수렴하게 된다""
1.3. 베이지안 추론의 응용 사례
베이지안 추론은 시간의 흐름 속에서 역사적인 데이터를 이용해 모형을 업데이트해 나가는 데 많이 활용되고 있다. 특히 군사적 관점에서 과거의 전쟁사 자료를 분석하고 예측하는 데 베이지안 추론이 적절하게 적용될 수 있다.
과거의 전쟁사 자료를 수집하여 미래에 있을 수 있는 전쟁을 예측하고자 할 때, 베이지안 추론은 모수 추정의 불확실성까지 반영한 사후예측분포를 생성하여 분석할 수 있다는 장점을 가진다. 이를 통해 고전적 선형모형에서는 얻을 수 없는 풍부한 미래 예측 데이터를 얻을 수 있다.
예를 들어, 초기 방자와 동일한 전투력으로 공격한 경우(유형 #1)와 초기 3배의 전투력으로 공격한 경우(유형 #2)에 대한 사후예측분포를 생성하여 분석해볼 수 있다. 이를 통해 몬테칼로 시뮬레이션을 활용하여 3:1 이상의 전투...
참고 자료
토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
조연우. "조건부확률과 응용에 관한 연구." 국내석사학위논문 단국대학교, 2005. 서울
베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
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맹기완, 야밤의 공대생 만화, 뿌리와 이파리, 2017
E. T bell, 김종철 역, 고독한 천재들, 지앤지, 2006
김화영, 교과서를 만든 수학자들, 글담, 2005
와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
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