본문내용
1. 서론
1.1. 과제의 목적
이 과제는 미적분의 정의와 실생활에서 미적분이 어떻게 활용되는지를 알아봄으로써 수학이 우리 생활에 얼마나 근접하고 유용한지를 밝히고자 한다. 즉, 학생들이 미적분 교육을 받을 때 느끼는 막연함과 어려움을 해소하고 미적분이 우리 주변에서 실제로 어떻게 쓰이고 있는지를 구체적인 사례를 통해 보여줌으로써 수학에 대한 긍정적인 인식을 제고하고자 하는 것이다. 특히 미분과 적분의 개념을 중심으로 이를 첨단 과학기술, 첨단 공학기술, 의료 분야, 경제 분야 등 다양한 실생활에 어떻게 활용되고 있는지를 알아봄으로써 수학이 우리 삶과 밀접하게 관련되어 있다는 것을 이해할 수 있도록 하는데 목적이 있다.
1.2. 미적분의 개념과 중요성
미적분의 개념과 중요성은 다음과 같다.
미적분학(微積分學, Calculus)은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭으로는 "무한소 해석학"이 있다. 미적분학은 속도, 가속도와 같이 일정하게 변하는 양들의 값을 구하는데, 이 값들은 곡선의 기울기로 해석되며 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 곡선은 직선을 의미할 수도 있다. 또한 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극적으로 구하는 값에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 두 가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다.
기하학이 모양(Shape)에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산과 그 활용에 대한 학문이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 학문이다. 미적분학은 크게 미분과 적분의 두 개 분야로 구분된다. 미분은 국소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 국소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 미분은 특정 함수의 어떤 지점에서의 접선, 또는 접평면을 구하는 연산이며, 원래 복잡한 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 것이다. 적분은 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다.
미적분학은 속도, 가속도, 변화율과 같은 개념을 다루면서 다양한 분야에서 활용되고 있다. 예를 들어 과속 단속 카메라, 건축과 도로 설계, 애니메이션, CT 촬영, 토목공사 등 현대 문명을 구축하는데 필수적인 분야에서 미적분학이 폭넓게 활용되고 있다. 이처럼 미적분학은 변화를 읽어내고 예측하는 핵심 도구로서 현대 사회 발전의 근간을 이루고 있다고 할 수 있다.
2. 미적분의 정의와 역사
2.1. 미분의 정의와 역사
미분이란 어떤 운동이나 함수의 순간적인 움직임을 서술하는 방법이다. 어떤 함수의 미분이란 그것의 도함수를 도출해내는 과정을 말한다. 이러한 극한은 존재하지 않을 수 있다. 이 극한이 존재하는 경우, f가 a에서 미분 가능하다고 한다. 미분의 기호는 와 같이 여러 가지가 있다"".
오래 전부터 있었던 적분 아이디어와 움직임을 연구하는 미분이 만나 미적분이라는 새로운 학문이 탄생했다. 미적분을 발견한 사람으로는 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 동시에 거론된다. 뉴턴은 1665년부터 자신이 만든 유율법이라고 이름 붙인 미적분을 발견했다. 그리고 이를 이용해 케플러의 제2법칙과 제3법칙을 증명하는 과정에서 만유인력의 법칙을 확인했다. 한편 이보다 약간 늦은 1673년과 1676년 사이에 독일의 법률가이자 수학자인 라이프니츠도 미적분을 발견했다. 뉴턴이 운동을 분석하는 과정에서 미적분법을 발견했다면 라이프니츠는 곡선의 접선 또는 극대와 극소를 찾는 과정에서 미적분을 발견했다"".
2.2. 적분의 정의와 역사
적분(integral, integration)은 함수의 적분이 미적분학의 가장 중요한 연산 중의 하나로서 일변수 함수의 적분은 넓이와 부피를 계산하는 데 사용된다는 것이다. 또한 두 개 이상의 변수를 가진 함수의 정적분과 곡선 위의 선적분, 곡면 위의 면적분 역시 여러 과학 분야에서 유용하게 사용되고 있다. 이러한 적분은 주어진 함수의 원시함수를 구하는 것으로서, 정적분을 구하는 것을 그 함수를 적분한다고 하며, 적분법은 그 계산법을 의미한다.
적분의 역사를 살펴보면, 기원전 5세기 고대 그리스의 안티폰은 원에 내접하는 정사각형을 그린 뒤, 정팔각형, 정십육각형 등 계속 변의 개수를 두 배씩 늘려나가면 원의 넓이와 똑같은 다각형을 만들 수 있다고 생각했다. 이러한 아이...
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