소개글
"수학 학사논문"에 대한 내용입니다.
목차
1. 뉴턴과 라이프니츠의 미적분
1.1. 서론
1.2. 이항급수의 발견
1.2.1. 무한급수의 공인
1.2.2. 월러스의 보간법
1.2.3. 이항급수의 발견
1.2.4. 이항급수의 의미
1.3. 뉴턴의 미적분
1.3.1. 유율의 도입
1.3.2. 뉴턴의 업적
1.4. 라이프니츠의 미적분
1.4.1. 라이프니츠의 꿈
1.4.2. 라이프니츠의 업적
1.5. 뉴턴과 라이프니츠의 비교
1.6. 결론
2. 위대한 수학자 오일러
2.1. 서론 - 오일러에 관심을 갖게 된 계기
2.2. 본론
2.2.1. 오일러의 생애
2.2.2. 오일러의 수학적 업적
2.2.2.1. 오일러의 한붓그리기
2.2.2.2. 다양한 수학적 표현의 확립
2.2.2.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
2.2.2.4. 가장 아름다운 공식, 오일러의 공식
2.3. 결론 - 오일러 그는 어떤 수학자인가
3. 참고 문헌
본문내용
1. 뉴턴과 라이프니츠의 미적분
1.1. 서론
17세기의 미적분의 두 가지 주요한 발견으로부터 시작되어 강력한 새로운 무한소 해석학의 종합을 가능하게 하였다. 그 두 가지 주요한 발견 중 하나는 접선법과 넓이를 구하는 방법의 통합으로 이를 바탕으로 뉴턴과 라이프니츠는 미적분의 기본 알고리즘을 추출할 수 있었다. 다른 하다는 무한 급수 기술의 발달과 응용을 들 수 있다. 미적분의 통합과 무한급수의 전개 방법의 동시적인 발달로 인해 서로를 강화시켜 적용의 폭을 넓혔다. 예를 들어 초기 미적분법을 초월함수에 적용하기 위해 이런 초월함수를 항별로 미분하거나 적분할 수 있도록 무한급수로 표현되는 작업이 종종 필요했다. 만약 초월함수가 무한급수로 전개될 수 있다면 초월함수는 유한 다항식 일때처럼 그 함수의 도함수는 급수의 각 항을 미분함으로써 계산될 수 있다고 믿었다. 간단한 다항식에 적용했던 미적분의 초등 기술은 이런 식으로 무한급수 전개가 가능한 경우면 어떤 함수이든 적용될 수 있었다. 동시에 알려진 무한급수의 항별 미분 또는 적분은 새로운 급수를 산출하였다.
1.2. 이항급수의 발견
1.2.1. 무한급수의 공인
17세기 "해석적 기법"속에 무한급수가 도입되면서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 산출과 같은 보통의 대수적 과정을 적용하는데 따른 즉각적인 의문이 제기되었다. 보통의 대수식 계산과 본질적으로 같은 방법으로 무한급수를 적절히 조작할 수 있을 지에 대한 질문에 대한 결론은 "무한급수의 대수"가 유한 대수적 양의 대수와 같은 법칙을 따르게 된다는 것이다. 무한급수의 사용을 공인하고 향유하게 되어 나가는 과정에서 중심 사건은 뉴턴의 유명한 이항급수의 발견이었다"고 할 수 있다.
1.2.2. 월러스의 보간법
월러스의 보간법"은 수학자 존 월러스가 개발한 보간법으로, 그는 이를 통해 유명한 원의 무한곱을 도출해냈다. 월러스는 복잡한 과정을 거쳐 π에 대한 무한곱을 연역해냈는데, 이는 후에 뉴턴이 이항급수 발견의 모델이 되었다.
월러스가 사용한 보간 절차는 그 자체로는 충분히 정당화되지 못했으며, 뉴턴의 보간 절차도 이항급수를 보증하기에 부족했다. 실제로 19세기 초반까지도 어떤 이유로 그 절차가 옳은지 엄밀하게 증명되지 않았다.
그러나 월러스와 뉴턴의 이 독창적 발견은 수학적 발견의 예기치 못한 특성과 결과, 엄밀한 증명과 발견의 과정 사이의 결정적 차이를 보여주는 전형적인 사례이다. 월러스의 경우 입증되지 않은 추측을 바탕으로 π에 대한 무한곱을 끌어냈으며, 이에 대해 당시 사람들로부터 비판을 받기도 했다. 페르마도 월러스가 불완전한 귀납법을 사용했다고 비판하였다.
하지만 월러스 자신은 엄격한 증명보다는 관찰과 유추를 통해 새로운 수학적 발견을 이루어내는 것이 중요하다고 역설하였다. 이처럼 수학적 발견의 과정에서 엄밀한 증명보다는 발견적 사고가 중요한 역할을 함을 보여준 사례라 할 수 있다.
1.2.3. 이항급수의 발견
이항급수의 발견은 17세기 무한급수의 활용을 위한 중요한 계기였다. 당시 정수가 아닌 지수의 사용이 일반화되지 않은 상황에서, 뉴턴은 1665년에 양의 정수 거듭제곱에 대한 이항 계수 공식을 발견했다. 이는 양의 정수 지수뿐만 아니라 음의 지수나 분수 지수로의 일반화를 암시하는 것이었다.
뉴턴은 월러스가 π에 대한 유명한 무한 곱을 연역해낸 복잡한 과정을 모델로 삼아 이항급수에 대한 보간법을 실시했다. 하지만 월러스의 보간 절차는 정당성 확보가 어려웠고, 뉴턴의 보간 절차 또한 이항급수를 완전히 보증하기 힘들었다. 실제로 19세기 초반까지도 이 절차들이 왜 옳은지 엄밀하게 증명되지 않았다.
그러나 이항급수의 발견은 무한급수를 새로운 도구로 활용하는 데 중요한 역할을 했고, 응용 가능한 다양한 무한급수를 제공했다. 월러스와 뉴턴의 이러한 독창적 발견은 수학적 발견의 예기치 못한 특성과 엄밀한 증명 사이의 격차를 보여주는 전형이다. 즉, 탐구와 증명 과정에서 불완전한 귀납과 유추가 새로운 발견을 이끌어내는 중요한 역할을 담당할 수 있다는 것을 보여준다.
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참고 자료
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와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
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