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1. 미적분으로 바라본 일상
1.1. 실생활에 숨어있는 미적분
우리는 일상생활에서 흔히 미적분을 접하고 있지만 그 사실을 모르고 지내는 경우가 많다. 건축, 스포츠, 금융, 사진 편집 등 다양한 분야에서 미적분은 중요한 역할을 하고 있다.
건축학 분야에서 미적분은 도로 설계에 활용된다. 자동차가 곡선 도로에서 직선 도로로 진입할 때, 운전자가 안전하게 진입할 수 있도록 수학적 원리에 따른 도로 설계가 필요하다. 곡선 도로와 직선 도로의 접선이 되어야 자동차가 안전하게 진입할 수 있는데, 이때 곡선의 접선을 구하는 원리가 미분이다.
스포츠 분야에서 미적분은 선수들의 순간적인 움직임을 분석하는데 활용된다. 특히 야구에서는 투수가 던지는 공의 속도를 미분계수로 구해 선수별 능력치를 파악하는데 이용된다. 또한 운동 의상이나 기구 개발 시에도 시간에 따른 선수의 속도 변화와 운동 환경의 저항 변화 등을 수학적으로 표현해야 하므로 미적분이 중요한 역할을 한다.
금융공학 분야에서도 미적분은 매우 중요하게 활용된다. 파생상품 시장에서는 기초 자산인 금융 상품의 가격 변화를 늘려주거나 가격 변화를 상쇄시켜 위험을 줄이는데 미적분이 핵심이다. 채권 금리와 채권 가격의 관계, 거시경제 지표의 변화 등을 미분을 통해 분석할 수 있기 때문이다.
포토샵과 같은 사진 편집 프로그램에서도 미적분이 활용된다. 사진의 윤곽 부분에서 얼굴과 배경의 경계를 찾아내는데 미분이 사용되며, 이를 통해 해당 영역을 자동으로 선택할 수 있다.
이처럼 우리 일상생활 곳곳에서 미적분은 중요한 역할을 하고 있다. 비행기의 제동거리 계산, 자동차 과속 단속 카메라의 작동 원리, 아날로그 컴퓨터의 미분기, 전기 및 화학 현상 분석, 사회과학 분야의 지표 변화 추정 등 미적분은 다양한 방면에서 활용되고 있다.
특히 영화 산업에서는 미적분이 중요한 역할을 한다. 컴퓨터 그래픽 기술을 활용한 애니메이션 제작 시, 미분을 통해 그림을 수식으로 변환하고 크기를 자유롭게 조절할 수 있게 되었다. 이로 인해 제작 기간과 투자비가 절감되고 더욱 생생한 장면 연출이 가능해졌다. 최근 개봉한 애니메이션 영화 '모아나'에서도 유체 역학 이론을 바탕으로 한 미분 방정식을 활용하여 사실적인 바다 장면을 연출하였다.
요약하면, 미적분은 건축, 스포츠, 금융, 사진 편집, 영화 등 우리 일상생활 전반에 걸쳐 광범위하게 활용되고 있다. 비록 우리가 그 사실을 알지 못하더라도, 미적분은 현대 사회를 이루는 핵심적인 수학 도구라고 할 수 있다.
1.2. 미적분의 역사
미적분의 역사는 고대 그리스 시절부터 논의되어 왔다. 그리스의 철학자 제논은 아킬레스와 거북의 달리기 시합에 대한 이야기에서 공간과 시간에 관한 역설을 제시하였다. 하지만 본격적인 미적분학은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었다.
뉴턴이 미적분에 접근한 방법은 갈릴레이와 케플리의 전통에 따른 동적인 것이었다. 이러한 운동은 시간이 흐르는 가운데 실현된다. 운동을 하는 것은 독립변수인 시간에 따라서 변한다고 생각할 수 있다. 이 때문에 먼저 시간을 수학적으로 정확하게 추상화하여 균등하게 흐르는 독립된 양으로 삼는다. 따라서 현대적으로 말해서 순간 속도를 찾기 위해서는 경로 증분의 시간 증분에 대한 비의 극한을 구해야 한다. 즉, 시간이 0으로 될 때의 '마지막 비'를 구해야 한다. 이때 소멸하는 양의 마지막 비는 결코 소멸 직전이나 직후에 생기는 비라고 생각해서는 안 된다. "마지막 비란, 그것으로 이 양들이 소멸하는 비이며, 마찬가지로 처음 비도 그것으로 이 양들이 생기는 비를 말한다." 이렇게 해서 뉴턴은 유율(도함수)의 발견에 다다랐다.
라이프니츠가 미적분학에 접근했던 방법은 뉴턴과 다소 달랐다. 1648년경에 카발리에리의 방법을 따른 원자론에 "연속률"이라는 원리를 덧붙여 뉴턴의 극한 개념을 대신한 또다른 미적분학을 세웠고, 미분기호와 작분기호의 창안 등 해석학 발달에 많은 공헌을 하였다. 그는 구적문제를 '세로좌표의 총합'으로 간주하고, 연속하는 세로좌표의 차가 '접선의 기울기의 근사값으로 된다'고 하였다. 1675년에 라이프니츠는 미적분법의 기본개념을 정식화했다. 합과 차에 바탕을 둔 구적문제와 접선문제는 서로 역의 관계...
