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1. 미적분의 이해
1.1. 미적분이란?
미적분이란 미분과 적분의 수학적 이론을 말한다. 미적분은 17세기 후반 라이프니츠에 의해 발명되었고, 약 10년 뒤 뉴턴이 유율법을 만들어 미적분에 이용하였다. 라이프니츠와 뉴턴의 방법 모두 무한소 문제를 해결하기 위한 것이었으며, 곡선의 접선, 호의 길이, 곡률 반경, 무게중심, 면적, 부피 등을 구하기 위해 사용되었다.
미분은 움직이는 대상을, 적분은 움직이지 않는 도형의 넓이, 부피 등을 다룬다. 세상의 모든 것이 움직이고 변하는데 움직이는 대상을 연구하는 미분이 17세기에야 비로소 시작된 이유는, 움직이는 대상을 연구하는 것이 가만히 있는 대상을 연구하는 것보다 훨씬 어렵기 때문이다.
따라서 미적분은 세상의 변화와 움직임을 연구하는 핵심적인 수학 개념이라 할 수 있다.
1.2. 건축 속 미적분
1.2.1. 피터 아이젠만의 건축 프로젝트
피터 아이젠만의 건축 프로젝트는 건물과 랜드스케이프의 연속적인 관계를 보여주는 대표적인 예이다. 그의 프로젝트들은 환경의 주름으로서의 건물이라는 개념을 제시한다. 연속성과 유동성은 종종 운동, 행동, 순환 등의 미분적 분석 그래프에 의해 정당화되며, 이러한 건물들은 사건과 행위를 발생시키는 잠재적인 장이나 환경으로 작동한다.
대표적인 프로젝트로는 피터 아이젠만의 뉴욕 IFCCA 도시 설계안(1999)과 생 쟈크 드 콤포스텔라(Saint Jacques de compostelle) 문화 센터 계획(1999) 등을 들 수 있다. 이들 프로젝트는 건물과 주변 환경의 연속성을 강조하며, 유동적이고 유기적인 형태를 보여준다. 이러한 건물은 기존의 정형화된 건축물과 달리 사용자의 행위와 움직임을 유발하고 반영하는 역동적인 공간이라 할 수 있다.
피터 아이젠만의 건축 프로젝트는 기존 건축 개념의 한계를 넘어서고자 하는 노력의 결과물이다. 그는 건물과 주변 환경의 경계를 허물고, 사용자와 건물의 상호작용을 중요시하는 새로운 건축 패러다임을 제시한다. 이는 단순한 물리적 구조물을 넘어 역동적이고 유기적인 공간을 창출하고자 하는 시도라 할 수 있다.
1.2.2. 킴벨 미술관의 사이클로이드 곡선
킴벨 미술관의 사이클로이드 곡선은 이 건축물의 가장 주목받는 특징이다. 킴벨 미술관에서는 콘크리트 볼트 천장이 사이클로이드 곡선으로 이루어져 있어, 이를 통해 자연광이 효과적으로 실내로 유입되도록 설계되었다.
구체적으로 살펴보면, 킴벨 미술관의 콘크리트 볼트 천장은 7.3m×30.5m를 기본 단위로 하고 있다. 이 콘크리트 볼트 천장의 정점에 슬릿이 있어 태양광선이 실내로 유입되는데, 이때 50%의 개구율을 가진 알루미늄 펀칭메탈 반사재가 태양광을 반사시켜 실내 전체에 고르게 확산되도록 한다. 이러한 구조를 통해 킴벨 미술관 내부는 자연광으로 밝게 조명되며 공간의 성격이 결정되는데, 이는 예일 대학교 미술관의 와플 슬래브 사례와 유사한 맥락이라고 볼 수 있다.
즉, 킴벨 미술관의 사이클로이드 곡선 천장은 단순한 구조재의 역할을 넘어서 공간의 성격을 결정하는 적극적인 역할을 하고 있다고 할 수 있다. 자연광의 효과적인 유입과 확산을 통해 실내 공간을 생동감 있게 연출하며, 이는 수학적 곡선인 사이클로이드의 특성을 건축에 적용한 대표적인 사례라 평가할 수 있다.
1.3. 건축 속 미적분의 활용
1.3.1. 연속함수
함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에 대하여 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속이라고 한다. 또 어떤 구간에서 연속인 함수를 연속함수라고 한다. 함수 f(x)가 열린구간(a, b)에서 연속이고, lim _{x -> a+} {f(x)=f(a),` lim _{x-> b-} {f(x)=f(b)}} 를 모두 만족시킬 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b] 에서 연속이라고 한다. 연속함수는 우리 주변에서 널리 발견되는데, 대표적인 예로는 일상생활에서 쉽게 관찰할 수 있는 시간에 따른 온도 변화, 소득에 따른 소비량 변화 등을 들 수 있다.
연속함수의 성질을 살펴보면, 먼저 연속함수는 그래프가 곡선으로 나타나며 함수의 그래프가 한 점에서 갑자기 끊어지지 않는다. 또한 연속함수는 미분 가능한 성질을 가지고 있어 도함수를 구할 수 있고, 이를 통해 변화율을 분석할 수 있다. 이처럼 연속함수는 일상생활과 다양한 분야에서 널리 이용되며, 수학적 분석의 기반이 되는 중요한 개념이다.
건축물에서도 연속함수의 개념이 활용되는데, 특히 피터 아이젠만의 건축 프로젝트와 킴벨 미술관의 사이클로이드 곡선 등에서 찾아볼 수 있다. 이처럼 연속성은 건축 설계 과정에서 중요한 역할을 하며, 건축물의 미적 가치와 구조적 안정성을 높이는 데 기여한다.
요약하면, 연속함수는 수학의 핵심 개념 중 하나로서 일상생활과 다양한 분야에서 폭넓게 활용되고 있다. 특히 건축 분야에서도 연속성의 개념이 중요하게 작용하여 아름답고 안전한 건축물을 설계하는 데 기여하고 있다.
1.3.2. 미분가능과 연속성
함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는...
