본문내용
1. 조화 법칙의 고전 역학적 증명
1.1. 조화 법칙의 정의
조화 법칙은 케플러 제3법칙으로도 불린다. 조화의 법칙은 두 천체 사이의 거리(a)와 주기(P), 그리고 두 천체의 질량 사이의 관계를 나타낸 것이다. 즉, 두 천체의 거리와 공전 주기를 알고 있을 경우, 위 법칙을 통해 두 천체의 질량을 구할 수 있다."
1.2. 고전 뉴턴 역학을 통한 증명
질량이 m_1과 m_2인 두 천체가 있다고 가정하자. 그리고 질량이 m_1인 천체와 무게중심(CM) 사이의 거리를 r_1, 질량이 m_1인 천체의 운동속도를 v_1, 질량이 m_2인 천체와 무게중심(CM) 사이의 거리를 r_2, 질량이 m_2인 천체의 운동속도를 v_2 그리고 질량이 m_1과 m_2사이의 거리를 a라고 하자.
이로부터 알 수 있는 식을 아래와 같이 나타낼 수 있다.
a=r_1 + r_2 ···i)
v=v_1 + v_2 ···ii)
M=m_1 + m_2 ···iii)
또한, m_1과 m_2에 작용하는 원심력의 크기를 F_1과 F_2라고 한다면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
F_1 = {m_1 v_1^2} over {r_1} = {m_1} over {r_1} ( {2 pi r_1} over {P} )^2 = {4 pi^2 r_1 m_1} over {P^2} ···iv)
F_2 = {m_2 v_2^2} over {r_2} = {m_2} over {r_2} ( {2 pi r_2} over {P} )^2 = {4 pi^2 r_2 m_2} over {P^2} ···v)
그리고 두 천체 사이에서 작용하는 만유인력은 아래와 같은 식으로 표현할 수 있다.
F_G = {Gm_1 m_2} over {a^2} ···vi)
여기서, iv)=v)식을 통해 m_1 r_1 =m_2 r_2 ···vii)식이 성립된다. 또한, iv)식과 vi)식을 연립하면, (F_1 =F_G ) {4 pi^2 r_1 m_1} over {P^2} = {Gm_1 m_2} over {a^2} ············ LRARROW ············ {a^2 r_1} over {P^2} = {Gm_2} over {4 pi^2} ···viii)
그리고 viii)식에서 r_1을 소거하기 위해 vii)식을 변환할 필요가 있다. 식을 정리하면, m_1 r_1 =m_2 (a-r_1)=m_2 a-m_2 r_1의 식으로 나타낼 수도 있으며, 이 식을 r_1에 대한 식으로 나타낸다면, r_1 = {m_2} over {m_1 +m_2} a···X) 의 식으로 나타낼 수 있다.
이후 X)식을 viii)식에 대입하면, {a^2} over {P^2} · {m_2} over {m_1 +m_2} a= {Gm_2} over {4 pi^2}의 식으로 정리가 되며 이를 간단히 표현하면 케플러 제3법칙이 증명된다.
THEREFORE {a^3} over {P^2} = {G(m_1 +m_2)} over {4 pi^2}
1.3. 조화의 법칙 활용
조화의 법칙은 거시 세계에서 다양한 방법으로 이용되거나 활용된다. 가령 지구와 같은 행성이 태양 주위를 돌 때나 태양과 같은 천체가 은하 중심을 돌 때 등 여러 거시적인 상황에 조화의 법칙이 적용된다.
예를 들어 지구가 태양 주위를 돈다는 사실은 누구나 다 알고 있다. 우리는 경험적으로 지구가 태양 주위를 어느 주기를 기반으로 공전하고 있는지 알고 있으며, 이 단서를 기반으로 케플러 법칙을 이용할 경우, 지구에서 태양까지의 거리 (a)를 알거나 태양의 질량 (M_☉)을 알고 있을 경우, 나머지 모르는 미지수를 구할 수 있다.
태양의 질량을 M_☉, 지구의 질량을 M_⊕, 그리고 태양과 지구사이의 거리를 a, 지구와 태양...
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