본문내용
1. 소개
1.1. 복소평면에 표현되는 허수의 특징
허수는 실수가 아닌 복소수를 의미한다. 허수 단위 i는 제곱하여 -1이 되는 수이다. 복소수 a+bi의 형태에서 b가 0이 아닌 경우 이를 허수라고 부른다. 여기서 a는 실수부분을 나타내는 실수 Z이며, b는 허수부분을 나타내는 허수 Z인 imaginary Z로 불린다.
허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 카르다노는 두 수의 합이 10이고 곱이 40인 문제를 해결하던 중 음수의 제곱근을 최초로 계산하여 허수를 발견하게 되었다. 당시 수학자들은 이 문제에 대해 근이 없다고 생각했지만, 카르다노는 이를 해결하여 허수의 존재를 최초로 밝혀냈다.
실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지므로, 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면 또는 가우스평면이라고 한다.
1.2. 허수의 역사적 발견
이탈리아 수학자 카르다노가 허수를 처음 발견하였다. 그는 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 풀게 되는데, 이를 수식으로 나타내면 x^2 = 16이다. 당시 수학자들은 이 문제가 근이 없다며 풀 수 없다고 하였으나, 카르다노는 이 문제를 해결하기 위해 노력하였고 결국 x = √(-1)이라는 근을 구하였다. 이로써 카르다노는 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다.
2. 복소평면과 복소수
2.1. 복소평면의 정의와 특징
실수를 좌표평면에 나타낼 수 있듯이, 복소수 또한 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소평면이란 복소수와의 대응이 정해진 평면을 의미한다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지므로, 복소수와 평면 위의 점은 서로 구별할 수 없는 동일한 것으로 볼 수 있다. 따라서 복소평면에서는 복소수와 점이 동일한 의미를 가지며, 이러한 평면을 복소평면 또는 가우스평면이라고 한다. 복소평면에서 실수부는 x축, 허수부는 y축에 각각 대응되며, 복소수 a+bi는 평면상의 점 (a, b)로 나타낼 수 있다. 이처럼 복소평면은 복소수를 시각적으로 표현하고 이해하는 데 유용하다. 특히 복소수의 사칙연산, 곱셈, 제곱 등의 연산을 복소평면에서 직관적으로 이해할 수 있다는 장점이 있다.
2.2. 실수와 허수의 표현
실수는 우리가 익숙하게 사용...
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