소개글
"고등수학1 심화탐구"에 대한 내용입니다.
목차
1. 서론
1.1. 탐구 주제
1.2. 탐구 동기
2. 고등학교 교육과정에서의 수열 단원 학습
2.1. 등차수열과 등비수열
2.2. 수열의 합
3. 수열 이해를 통한 학습 능력 향상
3.1. 도형을 이용한 수열의 합 지도
3.2. 극한과 수열의 연계
4. 수열의 실제 적용
4.1. 실생활에서의 수열 사용
4.2. 항공우주공학에서의 수열 사용
5. 결론
6. 참고 문헌
본문내용
1. 서론
1.1. 탐구 주제
학교 교육과정 내의 수열 단원의 학습능력 향상을 위한 2015 개정 고등학교 교육과정 및 그 외 수열 단원 학습 방법 탐구 및 적용이다.
수학Ⅰ을 학습한 후 문제 풀이 과정에서 '수열'과 '수열의 합'에서 어려움을 겪었는데, 이는 위 두 단원에서 나온 공식들의 의미와 어째서 그 공식이 쓰이는지 몰랐기 때문이다. 또한 미적분 교과서와 문제집을 풀며 첫 단원인 수열의 극한과 급수에서 어려움을 겪었고, 해당 내용은 수학Ⅰ의 '수열' 부분과 수학Ⅱ의 '극한' 단원의 융합적 내용이라 수학Ⅰ에서 수열의 이해의 부족이 문제점이라 생각했다. 따라서 해당 부분에 더 나은 이해와 적용을 하기 위하여 해당 탐구를 진행한다. 또한 차후 학습할 미적분에서의 학습의 용이성을 위하여 수학Ⅰ의 수열과 수학Ⅱ의 극한을 엮어서 이해하려는 탐구를 진행한다.
등차수열이란 연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 나타내며, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 공차라고 한다. 등차수열의 점화식과 일반항은 a_{k+1} - a_k = d, a_n = a + (n-1)d이다. 또한 a, b, c가 등차수열에서의 연속한 세 항일 때 b를 a와 c의 등차중항이라고 하며, b = (a+c)/2이다. 이러한 등차수열은 일정한 변화율을 갖기 때문에 미분계수가 일정한 일차함수의 꼴을 가지며, 정의역은 자연수가 된다. 등차수열의 합은 n(a_1 + a_n)/2이며, 이는 초항과 n번째 항의 등차중항을 n번 곱한 것과 같다. 등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열을 말하며, 이 때 일정한 비를 공비라고 한다. 등비수열의 점화식과 일반식은 a_{k+1}/a_k = r, a_n = ar^(n-1)이다. 등비수열에도 등비중항이 존재하는데, 이는 등차중항이 나머지 두 항의 산술평균인 것과 다르게 나머지 두 항의 기하평균이다. 등비수열을 함수로 보면 지수함수의 꼴을 가지며, 정의역은 자연수로 한정된다. 등비수열의 극한값은 초항과 공비에 따라 달라질 수 있다. 등비수열의 합은 a(1-r^n)/(1-r)이다.
수열의 합 단원에서는 합의 기호 Σ를 배우며, 다음과 같은 공식을 학습한다. Σ^n_{k=1} k = n(n+1)/2, Σ^n_{k=1} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6, Σ^n_{k=1} k^3 = (n(n+1)/2)^2. 첫 번째 식은 등차수열의 내용만으로도 증명이 가능하지만, 나머지 공식들은 어떻게 증명할 수 있는지 교과서에서 설명하지 않는다. 자연수 k의 제곱의 총합은 (x+1)^3 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1을 이용하여 증명할 수 있고, 자연수 k의 세제곱의 총합 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다. 하지만 시판 문제집에 포함된 공식들은 증명하지 않는다.
'도형을 이용한 수열의 합 지도방안, 김병노, 2020'논문에서는 기존의 교과서에서 제시한 수...
참고 자료
고등학교 수열단원 문제해결과정에서 나타나는 학생들의 대수적 사고 양식과 일반화 수준의 분석 연구, 박다슬, 2017
도형을 이용한 수열의 합 지도방안, 김병노, 2020
수열과 수열의 극한에 대한 고등학생의 인식 조사. 대한수학교육학회, 장현석, 2020
미래엔 고등학교 수학 1 교과서
미래엔 고등학교 수학 2 교과서
좋은책 신사고 고등학교 미적분 교과서
