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1. 푸리에 변환
1.1. 푸리에 변환의 배경과 개념
푸리에 변환의 배경과 개념은 다음과 같다.
대부분의 신호처리 기법은 주파수 공간이라는 수학적인 공간에서 이루어진다. 이러한 주파수 영역으로의 변환은 "모든 파형(波形)은 단순한 정현파의 합으로 표현할 수 있다"는 개념에 기초하고 있다. 예를 들어 [그림 1(a)]와 같은 일반적인 신호 파형은 복합적인 여러 성분으로 이루어져 있다. 이러한 일반적인 신호를 (a-1), (a-2), (a-3)와 같은 서로 다른 주파수를 가진 정현파들의 합으로 분해할 수 있다. 이는 자연환경 속의 다양한 사물들을 분류하는 것과 유사한 개념이다. 즉, 분석하기 어려운 복잡한 신호를 여러 개의 특징적인 신호들로 분류하여 각각을 분석한 후 원신호를 나타낼 수 있게 된다.
[그림 2]와 같이 정현파는 진폭 A와 위상 Ø로 표현할 수 있다. 마찬가지로 (a-2)와 (a-3)와 같은 신호도 주파수 f, 진폭 A, 위상 Ø로 나타낼 수 있다. 이를 통해 일반적인 신호를 주파수 영역으로 변환할 수 있게 된다.
이러한 과정을 수식으로 나타내면 [식 G-1]과 같은 푸리에 변환 공식이 된다. 푸리에 변환은 복소수 함수 X(f)를 사용하여 [식 G-3]과 같이 표현할 수 있으며, 이때 진폭과 위상을 함께 다룰 수 있어 변환 과정에 편리하다.
즉, 푸리에 변환은 시간 영역의 신호를 주파수 영역의 신호로 변환하는 과정으로, 복잡한 신호를 단순한 정현파의 합으로 표현할 수 있게 해준다. 이를 통해 신호 분석과 처리에 활용할 수 있게 된다.
1.2. 푸리에 변환의 수학적 표현
푸리에 변환의 수학적 표현은 다음과 같다. 푸리에 변환이란 시간 영역에서의 신호 f(t)를 주파수 영역의 신호 F(w)로 변환하는 것이다. 이는 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.""
F(w) = ∫_(-∞)^(∞) f(t)e^(-jwt) dt
이를 푸리에 변환 공식이라고 하며, 이 공식을 통해 시간 영역의 신호 f(t)가 주파수 영역의 신호 F(w)로 변환된다. 여기서 i는 허수 단위를, w는 각주파수를 나타낸다. 이 식은 복소수 형태로 표현되며, 진폭과 위상 정보를 모두 포함하고 있다.""
푸리에 변환의 역변환 공식은 다음과 같다.""
f(t) = {1/2π} ∫_(-∞)^(∞) F(w)e^(jwt) dw
이를 통해 주파수 영역의 신호 F(w)를 다시 시간 영역의 신호 f(t)로 변환할 수 있다. 이와 같은 푸리에 변환의 수학적 표현은 선형 시불변 시스템을 분석하는 데 기반이 되며, 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다.""
1.3. 정현파와 주파수 영역
정현파와 주파수 영역
정현파는 계속 반복되는 파형의 한 형태로, 주파수 세계에서 가장 기본이 되는 신호이다. 단순한 정현파를 기준으로 복잡한 신호들이 구성된다고 볼 수 있다.
그림 2에서 볼 수 있듯이, 정현파는 진폭 A와 위상 ø로 나타낼 수 있다. 진폭은 파형의 크기를 나타내고, 위상은 파형의 시작점을 표현한다. 이와 같이 정현파의 특성을 진폭과 위상으로 나타내는 것은 복잡한 신호를 분석하는데 용이하다.
또한 그림 3에서 보듯이, 정현파는 주파수 f에 대한 진폭과 위상의 그래프로 표현할 수 있다. 이러한 주파수 영역 표현은 ...
